4.2数值计算(第一和第二课时)

数值计算作为计算数学的主要部分和关键环节，研究求解数学模型的理论及其算法和软件实现。算法针对实际问题求得符合精度的近似解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。数值计算方法的内容十分丰富，它在科学技术中正发挥着越来越多的作用，许多计算领域的问题，如计算物理、计算化学、计算经济学等都可归结为数值计算问题。

本节我们将围绕项目“与数学公式面对面”展开，探讨在中学数学领域中常见的数学公式与程序设计的有趣结合。本项目主要包含“绘制数学函数曲线”和“求解‘裴波那契’数列”两个任务。

用学生熟悉的数学问题作为活动的主线，任务一重在实现学科知识的融通，将数学函数与计算机模拟相融合，突出计算机在问题解决过程中的地位和作用。任务二重在介绍数值计算中最常用的计算方法——迭代。

1.通过求解一元二次方程的解，了解计算机编程解决数值计算问题的一般流程，并能够使用解析法解决实际问题。

2.通过绘制一元多次方程函数图像，了解Python利用numpy和matplotlib两个模块绘制图像的基本方法。

3.通过编程求解一元多次方程，了解迭代法的含义，并尝试用牛顿迭代法解决实际问题。

【教学重点】

1.了解数值类算法在实际问题解决时的常用方法，如解析法和迭代法。

2.能够利用numpy和matplotlib两个模块绘制函数图像。

【教学难点】理解迭代法的含义，并能够用牛顿迭代法求解一元多次方程。

教师准备：打开微机，投影机，课件。

学生准备：结合课本提前预习。

教学过程教师活动学生活动设计意图

导入

5分钟在数学课上经常需要手工绘制函数图像，今天我们借助计算机

来绘制函数图像。

利用电子表格软件就能绘制函数图像。方法如下：若以30°为间隔，绘制0-360°之间的正弦函数图像，则首先需要完成下列表格数据的计算。

表格附后学生 听从学生熟悉的数学知识引入本节

教师利用wps绘制的函数图像：学生认真听讲引导学生利用wps画图

讲授新知

介绍numpy模块利用python绘制正弦曲线

在Python中，绘制函数图像一般要用到numpy和matplotlib两个模块，这两个模块需要另外安装。

numpy是一个科学计算包，其中包括很多数学函数，如三角函数

、矩阵计算方法等

import numpy as np#加载numpy模块并取一个简洁的别名为np

x=np.arrange(0,2*np.pi,0.01)# x在0到2π之间，每隔0.01取一个点

y=np.sin(x)#通过解析式计算列表x对应的列表y的值学生认真听讲学习新知

介绍Matplotlib模块Matplotlib模块是一个绘图库

import matplotlib.pylot as plt#加载matplotlib.pylot并取别名为plt

plt.plot(x,y)#将点对连线

plt.show()#将绘制的图像窗口显示出来学生认真听讲学习新知

教师：两个模块的使用学生听学习新知

学生练习参考上述代码，让我们一起来完善以下Python程序，

尝试绘出“sin(x)” “sin(-x)”和“sin(2x)/2”的图像。

程序附后表后学生做做中学，意在引导学生学会两个模块的具体使用。

教师数学家斐波那契在《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题：假设一对兔子每个月可以生一对小兔子，一对兔子出生后第2个月就开始生小兔子。则一对兔子一年内能繁殖成多少对？10年呢？学生听以有趣的问题引入教学

教师讲授新知[1,1,2,3,5,8,13,21,34……]

斐波那契数列，兔子数列，黄金分割数列，随着数列项数

的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，

0.6180339887学生听意在让学生学习兔子数列

教师介绍迭代的概念第1个月和第2个月的兔子的对数之和为第3个月的兔子对数，第2个月和第3个月的兔子对数之和为第4个月的兔子对数……，每个月的兔子对数是前两个月的兔子对数之和，又同时作为下一个月兔子对数的加数。这种重复反馈的过程称为迭代。

迭代法也称辗转法，是用计算机解决问题的一种基本方法。迭代通常是为了接近并达到抽需的目标或结果。每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。学生听意在让学生明白迭代内涵

Python 程序：

def fib(n):

#迭代求Fibonacci数列

f2=f1=1

for i in range(3,n+1):

f1,f2=f2,f1+f2

return f2

n=int(input('输入需要计算的月份数：'))

print('兔子总对数为：',fib(n))

input("运行完毕，请按回车键退出...")

课堂小结

2 分钟老师带领着学生一起回顾本节课的知识。

1、理解解数据的图形化表示，如利用wps表格绘图

2、掌握numpy模块和matplotlib模块的安装和使用

3、理解斐波那契数列

4、理解迭代法再次巩固本堂课的知识，体现教学的完

整性。

练习1、尝试用Python绘制y=x2—2x+ 1 的图像。

代码如下：

import numpy as np #加载numpy模块并取名为np

import matplotlib.pyplot as plt #加载matplotlib.pyplot并取名为plt

x=np.arange(-10,12,0.01)

y=x**2-2*x+1

plt.plot(x,y)

plt.title('一元二次方程')

plt.xlabel('X')

plt.ylabel('Y')

plt.show()学生做巩固所学

2、求解方程ax2+bx+c=0

import math

a=float(input("请输入方程系数a(!=0):"))

b=float(input("请输入方程系数b:"))

c=float(input("请输入方程系数c:"))

d=b*b-4*a*c

if d>0:

x1=(-b+math.sqrt(d))/(2*a)

x2=(-b-math.sqrt(d))/(2*a)

print("方程有两个不同的解",x1,x2)

elif d==0:

x1=-b/(2*a)

print("方程有两个相同的解",x1)

else:

print("方程无解")

3、尝试用辗转相除法求解两个正整数的最大公约数。

参考答案：

num1=int(input('请输入第一个正整数：'))

num2=int(input('请输入第二个正整数：'))

m=max(num1,num2)

n=min(num1,num2)

r=m % n

while r!=0:

m=n

n=r

r=m % n

print('这两个数的最大公约数为：',n)

input("运行完毕，请按回车键退出...")

4、牛顿迭代法求解x5+x4+x-3=0

参考代码：

def f(x):

#定义f(x)函数，计算f(x)=x5+x4+x-10

f=x**5+x**4+x-10

return f

def f1(x):

#定义f(x)函数，求导数f1(x)= 5*x4+4*x3+1

f1=5*(x**4)+4*(x**3)+1

return f1

#设置初始值

x=1

x1=2#x1的初值只要确保|x-x1|>1e-10就可以

print('迭代过程中的x值：')

#根据迭代公式计算

while abs(x-x1)>1e-10:

x1=x

y1=f(x)

y2=f1(x1)

x=x1-y1/y2

print(x)

xsin(x)sin(-x)sin(2x)/2

10000

2300.5-0.50.5

3600.866025404-0.8660254040.866025404

……………

14360000

完善程序：

importnumpyasnp#加载numpy模块并取别名为np

importmatplotlib.pyplotasplt#加载matplotlib.pyplot并取别名为plt

x=np.arange(0,2*np.pi,0.01)#列表x在0到2π之间，毎隔0.01取一个点

y1=np.sin(x)#求sin(x)对应的列表y1的值

y2=np.sin(-x)#求sin(-x)对立的列表y2的值

y3=np.sin(2*x)/2#求sin(2x)/2对应的列表y3的值

plt.plot(x,y1)#绘制sin(x)的图像

plt.plot(x,y2)#绘制sin(-x)的图像

plt.plot(x,y3)#绘制sin(2x)/ 2的图像

plt.title(‘sin(x)’)#设置图像标题

plt.xlabel(‘X’)#设置X轴标题

plt.ylabel(‘Y’)#设置Y轴标题

plt.show( )#将绘制的函数图像窗口显示出来

利用python 程序绘制的函数图像：