关于偏微分、全微分总结

偏微分

∂\partial∂ 指偏微分，偏微分是指对一个多元函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)中的其中一个变量进行求导，如
zx=∂z∂x，zy=∂z∂yz_x=\frac{\partial z}{\partial x}，z_y=\frac{\partial z}{\partial y}zx=∂x∂z，zy=∂y∂z

zxx=∂2z∂x2,zxy=∂2z∂x∂y,zyy=∂2z∂y2z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, z_{xy}=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}, z_{yy}=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}zxx=∂x2∂2z,zxy=∂x∂y∂2z,zyy=∂y2∂2z
在求导过程中对另一不求导变量做固定处理，可视作与当前所求变量无关，求导时按常数求导即可。

偏微分的物理意义：单一参数的变化，引起的物理量的变化率
偏微分的几何意义：在某点相对于x或y轴的图像的切线斜率

全微分

ddd 指全微分，如果函数z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y)在(x, y)处的全增量
Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)

可以表示为
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρρρ 趋近于0 (ρ=Δx2+Δy2ρ=\sqrt{Δx^2+Δy^2}ρ=Δx2+Δy2)，此时称函数z=f(x, y)在点(x，y)处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dzdzdz即
dz=AΔx+BΔydz=AΔx +BΔydz=AΔx+BΔy

dz=∂f∂xdx+∂f∂ydydz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dydz=∂x∂fdx+∂y∂fdy

该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分

全微分的物理意义：所有参数同时变化，所引起函数的整体变化
全微分的几何意义：各个偏微分之和

这里引入一个全导数概念：
全导数是在复合函数中的概念,和全微分的概念不是一个系统,要分开
u=a(t),v=b(t),z=f[a(t),b(t)]=f(u,v)u=a(t),v=b(t),z=f[a(t),b(t)]=f(u,v)u=a(t),v=b(t),z=f[a(t),b(t)]=f(u,v)

dzdt\frac{dz}{dt}dtdz 就是全导数,这是复合函数求导中的一种情况,只有这时才有全导数的概念
dzdt=∂z∂u∂u∂t+∂z∂v∂v∂t\frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}dtdz=∂u∂z∂t∂u+∂v∂z∂t∂v

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