前言

例说运算

圆锥曲线中的定值定点问题的运算往往少不了以下的过程。

将直线\(y=kx+2\)代入圆锥曲线\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)的代入运算过程，可以如下简化：

先将圆锥曲线整理为\(3x^2+4y^2-12=0\)，然后这样在演草纸上书写，注意对齐书写，一次运算过

\(\left\{\begin{array}{l}{3x^2}\\{4(k^2x^2+4kx+4)}\\{\hspace{6em}-12}\end{array}\right.\)

一次就可以整理为\((4k^2+3)x^2+16kx+4=0\)；

定点问题

• 动直线\(l\)过定点问题

解法思路：设动直线方程(斜率存在)为\(y=kx+t\)，由题设条件将\(t\)用\(k\)表示为\(t=km\)，得到\(y=k(x+m)\)形式，故动直线过定点\((-m，0)\)；

• 动曲线\(C\)过定点问题

解法思路：引入参变量建立曲线\(C\)的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。

典例剖析

例1【必会例题】\(A\)、\(B\)是抛物线\(y^2=2px(p>0)\)上的两点，且\(OA\perp OB\)；

设\(A(x_1，y_1)\)、\(B(x_2，y_2)\)，中点\(P(x_0，y_0)\)

（1）求\(A\)、\(B\)两点的横坐标之积和纵坐标之积；

分析：\(k_{OA}=\cfrac{y_1}{x_1}\)，\(k_{OB}=\cfrac{y_2}{x_2}\)，

由于\(OA\perp OB\)，则有\(k_{OA}\cdot k_{OB}=-1\)，则\(x_1x_2+y_1y_2=0\)，

又由于\(y_1^2=2px_1\)，\(y_2^2=2px_2\)，则有\(\cfrac{y_1^2}{2p}\cdot \cfrac{y_2^2}{2p}+y_1y_2=0\)，

由于\(y_1\neq 0\)，\(y_2\neq 0\)，故得到\(y_1y_2=-4p^2\)，\(x_1x_2=4p^2\)；

（2）求证：直线\(AB\)恒过定点；

分析：由于\(y_1^2=2px_1\)，\(y_2^2=2px_2\)，

所以\((y_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2)\)，

所以当\(x_1\neq x_2\)时，\(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\cfrac{2p}{y_1+y_2}\)，即\(k_{AB}=\cfrac{2p}{y_1+y_2}\)

则直线\(AB:\) \(y-y_1=\cfrac{2p}{y_1+y_2}(x-x_1)\)，即\(y=\cfrac{2px}{y_1+y_2}+y_1-\cfrac{2px_1}{y_1+y_2}\)

所以\(y=\cfrac{2px}{y_1+y_2}+\cfrac{y_1^2-2px_1+y_1y_2}{y_1+y_2}\)

由于\(y_1^2=2px_1\)，\(y_1y_2=-4p^2\)，

所以\(y=\cfrac{2px}{y_1+y_2}+\cfrac{-4p^2}{y_1+y_2}\)，整理为\(y=\cfrac{2p}{y_1+y_2}(x-2p)\)，

所以直线\(AB\)过定点\((2p，0)\)，设\(M(2p，0)\)，

当\(x_1=x_2\)时，可知\(AB\)方程为\(x=2p\)，过点\(M(2p，0)\)，

综上可知，直线\(AB\)恒过定点\(M(2p，0)\)。

例2【衡水金卷，直线过定点类型】如图所示，已知点\(A(-1，0)\)是抛物线的准线与\(x\)轴的交点，过点\(A\)的直线与抛物线交于点\(M，N\)两点，过点\(M\)的直线交抛物线于另一个点\(Q\)，且直线\(MQ\)过点\(B(1，-1)\).

(1).求抛物线的方程。

分析：由题目图形可知，\(\cfrac{p}{2}=1\)，则\(p=2\)，

故顶点在坐标原点，开口向右的抛物线的方程为\(y^2=2px\)，即\(y^2=4x\)。

(2).求证：直线\(QN\)过定点。

分析：如果直线过定点\((m，n)\)，则直线的表达式必然应该能化为：\(y-n=k(x-m)\)类型。

设点\(M(4t^2，4t)\)，点\(N(4t_1^2，4t_1)\)，点\(Q(4t_2^2，4t_2)\)，

则由题目易知直线\(MN\)的斜率存在，且\(k_{MN}=\cfrac{4t-4t_1}{4t^2-4t_1^2}=\cfrac{1}{t+t_1}\)，

从而直线\(MN\)的方程是\(y=\cfrac{1}{t+t_1}(x-4t^2)+4t\)，

即直线\(MN\)的方程是\(x-(t+t_1)y+4tt_1=0\)。同理可知[类比求解可得]，

直线\(MQ\)的方程\(x-(t+t_2)y+4tt_2=0\)，

直线\(NQ\)的方程\(x-(t_1+t_2)y+4t_1t_2=0\)，

又点\(A\)在直线\(MN\)上，从而有\(4tt_1=1\)，即\(t=\cfrac{1}{4t_1}\)；

点\(B\)在直线\(MQ\)上，从而有\(1+(t+t_2)+4tt_2=0\)，

即\(1+(\cfrac{1}{4t_1}+t_2)+4\times \cfrac{1}{4t_1}t_2=0\)，

化简得到\(4t_1t_2=-4(t_1+t_2)-1\)，

代入\(NQ\)的方程，得到\(x-(t_1+t_2)y-4(t_1+t_2)-1=0\)，

即\(y+4=\cfrac{1}{t_1+t_2}(x-1)\)，故直线\(NQ\)经过定点\((1，-4)\)。

• 抛物线\(y^2=4x\)上的任意点的坐标的设法一般是\((x，y)\)，本题采用\((4t^2，4t)\)，是抛物线的参数方程的一种。

• 注意直线过定点的[题眼]：\(y-y_0=g(k)(x-x_0)\)，则直线恒过定点\((x_0，y_0)\)，其中\(g(k)\)表示关于参数\(k\)的表达式，可能简单也可能复杂。

• 延伸阅读：直线或函数恒过定点；

例3【定点问题】【2019届高三理科三轮模拟训练题第7套第20题】设抛物线\(C:x^2=2py(0<p<8)\)的焦点为\(F\)，点\(P\)是\(C\)上一点，且\(PF\)的中点坐标为\((2，\cfrac{5}{2})\)。

（1）求抛物线\(C\)的标准方程；

分析：由题意可得，\(F(0，\cfrac{p}{2})\)，设\(P(x_0，y_0)\)，由\(PF\)的中点坐标为\((2，\cfrac{5}{2})\)，

得到\(0+x_0=2\times 2\)且\(\cfrac{p}{2}+y_0=2\times \cfrac{5}{2}\)，所以\(x_0=4\)，\(y_0=5-\cfrac{p}{2}\)，

又由于\(P(x_0，y_0)\)在抛物线\(x^2=2py\)上，则有\(16=2p(5-\cfrac{p}{2})\)，

即\(p^2-10p+16=0\)，解得\(p=2\)或\(p=8\)(舍去)，

故抛物线\(C\)的方程为\(x^2=4y\).

（2）若动直线\(l\)过点\(A(0，2)\)，且与抛物线\(C\)交于\(M\)、\(N\)两点，点\(Q\)与点\(M\)关于\(y\)轴对称（点\(Q\)与点\(N\)不重合），求证：直线\(QN\)恒过定点。

分析：由题意可知，直线\(l\)的斜率存在，设直线\(l:y=kx+2\)，\(M(x_1，y_1)\)，\(N(x_2，y_2)\)，则\(Q(-x_1，y_1)\)，

联立\(\left\{\begin{array}{l}{x^2=4y}\\{y=kx+2,}\end{array}\right.\) 消去\(y\)得到，\(x^2-4kx-8=0\)，

显然\(\Delta >0\)，由韦达定理可知，\(x_1+x_2=4k\)，\(x_1x_2=-8\)，

由于\(k_{QN}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-(-x_1)}=\cfrac{\frac{x_2^2}{4}-\frac{x_1^2}{4}}{x_2+x_1}\)\(=\cfrac{x_2-x_1}{4}\)，

所以直线\(QN\)的方程为\(y-y_1=\cfrac{x_2-x_1}{4}(x+x_1)\)，

即\(y=y_1+\cfrac{x_2-x_1}{4}(x+x_1)=\cfrac{x_2-x_1}{4}x+\cfrac{x_1(x_2-x_1)}{4}+\cfrac{x_1^2}{4}\)\(=\cfrac{x_2-x_1}{4}x+\cfrac{x_1x_2}{4}\)

又由于\(x_1x_2=-8\)，代入上式得到，\(y=\cfrac{x_2-x_1}{4}x-2\)，

故直线\(QN\)的方程为\(y=\cfrac{x_2-x_1}{4}x-2\)，即直线\(QN\)恒过定点\((0，-2)\)。

例4【恒过定点问题】【2019届高三理科寒假模拟试题1第20题】已知椭圆\(C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\cfrac{1}{2}\)，且过点\(P(2,3)\)，

（1）求椭圆\(C\)的标准方程；

分析：由于离心率\(e=\cfrac{1}{2}\)，故有\(a:b=4:3\)，设椭圆\(C\)的方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=t\)，

又由于点\(P(2,3)\)在椭圆上，则有\(1+3=t\)，即\(t=4\)，

故椭圆\(C\)的标准方程为\(\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{12}=1\)；

（2）过点\(P\)作两条直线\(l_1\)，\(l_2\)，与椭圆\(C\)分别交于\(M\)，\(N\)(点\(M\)，\(N\)与点\(P\)不重合)，若\(l_1\)，\(l_2\)的斜率之和为\(-1\)，求证：直线\(MN\)恒过定点；

证明：设直线\(MN\)的方程为\(y=kx+b\)，简单分析可知，当\(k\)不存在时，不满足要求；

联立\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{12}=1}\\{y=kx+b,}\end{array}\right.\) 消去\(y\)整理得到，\((4k^2+3)x^2+8kbx+4b^2-48=0\)，

设点\(M(x_1,y_1)\)，\(N(x_2,y_2)\)，则有\(x_1+x_2=-\cfrac{8kb}{4k^2+3}\)，\(x_1x_2=\cfrac{4b^2-48}{4k^2+3}\)

设直线\(PM\)，\(PN\)的斜率分别为\(k_1\)，\(k_2\)，则\(k_1+k_2=\cfrac{kx_1+b-3}{x_1-2}+\cfrac{kx_2+b-3}{x_2-2}=-1\)，

整理得到\((2k+1)x_1x_2+(b-2k-5)(x_1+x_2)+16-4b=0\)，将\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)代入整理，

即\((2k+b-3)(8k+b)=0\)，解得\(b=-2k+3\)或\(b=-8k\)；

当\(b=-2k+3\)时，直线\(MN:y=kx-2k+3=k(x-2)+3\)过点\(P(2,3)\)，不合题意，舍去；

当\(b=-8k\)时，直线\(MN:y=kx-8k=k(x-8)+0\)过点\((8,0)\)；

综上所述，直线\(MN\)恒过定点\((8,0)\).

例4【定值问题】已知离心率为\(\cfrac{1}{2}\)的椭圆\(C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的右焦点为\(F\)，且\(C\)过点\((1，-\frac{3}{2})\)，

（1）求椭圆\(C\)的标准方程；

分析：由题可知，\(\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1}\\{a^2=b^2+c^2}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.\)

解得\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)，故椭圆\(C\)的标准方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\).

（2）若不与\(x\)轴垂直的直线\(l\)与\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点(点\(M\)，\(N\)均在\(y\)轴右侧，且\(M\)，\(N\)，\(F\)不共线)，坐标原点\(O\)到直线\(l\)的距离为\(\sqrt{3}\)，求\(\triangle MNF\)的周长.[或证明：\(\triangle MNF\)的周长为定值]

分析：由题目易知，直线\(l\)的斜率存在且不为零，

设其方程为\(y=kx+m(k\neq 0)\)，\(M(x_1，y_1)\)，\(N(x_2，y_2)\)，

由于坐标原点\(O\)到直线\(l\)的距离为\(\sqrt{3}\)，则有\(\cfrac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{3}\)，即\(m^2=3(1+k^2)\)，

由\(\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1，}\end{array}\right.\) 得到\((3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0\)，

整理为\((3+4k^2)x^2+8kmx+12k^2=0\)，由韦达定理得到

\(x_1+x_2=-\cfrac{8km}{3+4k^2}\)，\(x_1x_2=\cfrac{12k^2}{3+4k^2}\)，

故\(|MN|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\) \(=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(-\cfrac{8km}{3+4k^2})^2-4\times \cfrac{12k^2}{3+4k^2}}\) \(=\cfrac{4|m||k|}{3+4k^2}\)

因为\(2>x_1>0\)，\(2>x_2>0\)，由\(x_1+x_2>0\)，所以\(mk<0\)，

故\(|MN|=-\cfrac{4mk}{3+4k^2}\)，

则\(|MF|^2=(x_1-1)^2+y_1^2=(\cfrac{1}{2}x_1-2)^2\)，则\(|MF|=2-\cfrac{1}{2}x_1\)，

同理得到，\(|NF|=2-\cfrac{1}{2}x_2\)，

故\(|MF|+|NF|=4-\cfrac{1}{2}(x_1+x_2)=4+\cfrac{4km}{3+4k^2}\)，

所以\(|MF|+|NF|+|MN|=4\)，即\(\triangle MNF\)的周长为\(4\).

例5【定值问题】【2019届高三理科数学三轮模拟训练】已知直线\(l：y=kx+1\)与曲线\(C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)交于不同的两点，\(O\)为坐标原点，

（1）若\(k=1\)，\(|OA|=|OB|\)，求证：曲线\(C\)是一个圆；

证法1：设直线\(l\)和曲线的交点为\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，

由于\(|OA|=|OB|\)，则有\(\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{x_2^2+y_2^2}\)，即\(x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2\)

即\(x_1^2-x_2^2=y_2^2-y_1^2\)，又由于点\(A\)，\(B\)在曲线\(C\)上，

则有\(\cfrac{x_1^2}{a^2}+\cfrac{y_1^2}{b^2}=1\)，\(\cfrac{x_2^2}{a^2}+\cfrac{y_2^2}{b^2}=1\)，

两式相减得到，\(x_1^2-x_2^2=\cfrac{a^2}{b^2}(y_2^2-y_1^2)\)，

故\(\cfrac{a^2}{b^2}=1\)，即\(a^2=b^2\)，即曲线\(C\)是一个圆；

证法2：设直线\(l\)和曲线的交点为\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，则\(x_1\neq x_2\)，

由于\(|OA|=|OB|\)，则有\(\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{x_2^2+y_2^2}\)，即\(x_1^2+(x_1+1)^2=x_2^2+(x_2+1)^2\)

整理为\(2(x_1-x_2)(x_1+x_2+1)=0\)，所以\(x_1+x_2=-1\)，

由\(\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1}\end{array}\right.\) 得到\((a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2(1-b^2)=0\)，

\(\Delta\geqslant 0\)，\(x_1+x_2=\cfrac{-2a^2}{a^2+b^2}\)，所以\(\cfrac{-2a^2}{a^2+b^2}=-1\)，

故\(a^2=b^2\)，即曲线\(C\)是一个圆；

（2）若曲线\(C\)过\((0，2)\)，\((1，0)\)，是否存在一个定点\(Q\)，使得\(\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}\)为定值？若存在，求出定点\(Q\)和定值；若不存在，请说明理由。

分析：由题意得，椭圆\(C\)的方程为\(\cfrac{y^2}{4}+x^2=1\)，假设存在点\(Q(x_0，y_0)\)，设交点为\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，

由\(\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{x^2+\cfrac{y^2}{4}=1}\end{array}\right.\) 得到\((k^2+4)x^2+2kx-3=0\)，

\(x_1+x_2=\cfrac{-2k}{k^2+4}\)，\(x_1x_2=\cfrac{-3}{k^2+4}\)，

由于直线\(l:y=kx+1\)恒过椭圆内定点\((1，0)\)，故\(\Delta >0\)恒成立，

\(\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=(x_1-x_0，y_1-y_0)\cdot (x_2-x_0，y_2-y_0)\)\(=(x_1-x_0)(x_2-x_0)+(y_1-y_0)(y_2-y_0)\)

\(=x_1x_2-x_0(x_1+x_2)+x_0^2+(kx_1+1-y_0)(kx_2+1-y_0)\)\(=(1+k^2)x_1x_2+[k(1-y_0)-x_0](x_1+x_2)+x_0^2+(1-y_0)^2\)

\(=(1+k^2)\cfrac{-3}{k^2+4}+[k(1-y_0)-x_0]\cfrac{-2k}{k^2+4}+x_0^2+(1-y_0)^2\)\(=\cfrac{-3(1+k^2)-2[k(1-y_0)-x_0]k}{k^2+4}+x_0^2+(1-y_0)^2\)

\(=\cfrac{(2y_0-5)k^2+2x_0k-3}{k^2+4}+x_0^2+(1-y_0)^2\)

当\(\left\{\begin{array}{l}{x_0=0}\\{\cfrac{2y_0-5}{1}=\cfrac{-3}{4}}\end{array}\right.\)，即\(x_0=0\)，\(y_0=\cfrac{17}{8}\)时，\(\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=-\cfrac{3}{4}+(\cfrac{9}{8})^2=\cfrac{33}{64}\),

故存在定点\((0，\cfrac{17}{8})\)，不论\(k\)为何值，都有\(\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=\cfrac{33}{64}\)为定值。

定值破解

由于这类问题的求解常常要用到韦达定理\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)的值，故定值问题常常考查线段长度，三角形或四边形的周长，三角形或四边形的面积，向量内积等可以用上\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)值的数学素材；

定值问题的破解题眼可能有以下情形：

①形如\(\cfrac{2k^2}{4+k^2}+\cfrac{8}{4+k^2}+1=\cfrac{2(k^2+4)}{4+k^2}+1=2+1=3\)为定值；

②加减消参法，和式中不含有参数，如\(3+\cfrac{2ak}{4+k^2}+1-\cfrac{2ak}{4+k^2}=4\)，故为定值；比如上例；

③相乘消参法，积式中不含有参数，如\(\cfrac{2}{2k^2+3k}\cdot \cfrac{2k^2+3k}{8}=\cfrac{1}{4}\)，故为定值；

④分式中对应项系数成比例消参，分式的值为定值；借用下例理解：

引例1，如设\(x\)轴上的一个动点\(P(x_0，0)\)，某运算结果为\(\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\cfrac{(8x_0-5)k^2-12}{3+4k^2}+x_0^2\)，

要使得\(\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\)与\(k\)的取值无关，只需要\(\cfrac{8x_0-5}{-12}=\cfrac{4}{3}\)，解得\(x_0=-\cfrac{11}{8}\)，

所以在\(x\)轴上存在点\(P\)，使得\(\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\)为定值，\(P\)的坐标为\((-\cfrac{11}{8}，0)\)，定值为\(-\cfrac{135}{64}\)。

引例2题目运算结果为\(\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=\cfrac{(2y_0-5)k^2+2x_0k-3}{k^2+4}+x_0^2+(1-y_0)^2\)

问：上述结果当\(x_0\)和\(y_0\)为何值时，运算结果与参数\(k\)无关，为定值？

当\(\left\{\begin{array}{l}{x_0=0}\\{\cfrac{2y_0-5}{1}=\cfrac{-3}{4}}\end{array}\right.\)，即\(x_0=0\)，\(y_0=\cfrac{17}{8}\)时，\(\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=-\cfrac{3}{4}+(\cfrac{9}{8})^2=\cfrac{33}{64}\),

故存在定点\((0，\cfrac{17}{8})\)，不论\(k\)为何值，都有\(\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}=\cfrac{33}{64}\)为定值。