1. comsol 中的弱形式问题—

弱形式推导的一般方法

写出问题的偏微分方程
乘以试函数并对方程进行积分
采用分部积分进行微分降级得到方程的弱形式

一维稳态导热微分方程的弱形式

1.问题描述

如图所示，一根长度为 L=1m的金属棒，左端有恒定热量 q =10W/m2流入，右端保持恒定温度 TL=300K, 有电流流过金属，恒定产热量为 Q=20W/m3，热导率 k=2W/(m.K)为常数，求金属棒上的温度分布。

2. 微分方程

傅里叶定律，也称热传导定律，描述热传导过程。其微分形式如下：

q=-k▽T

其中，q为局部热流密度，W/m2; k为材料热导率，W/(m.K)

一维情况下为：

将问题描述转化为数学语言，因存在内部热源 Q(W m^-3)，故控制方程为：

一维形式为：

边界条件为：

3.方程求解

4. 方程的弱形式

4.1乘上试函数并积分(test function)

等式两边同时乘上试函数Φi ( x )，再进行一次积分，则：

4.2 分部积分降低微分阶数

上述方程可变形为：

利用分步积分法消去二阶导项：补充：∫ u d v = u v − ∫ v d u，那么上式变成

此即为弱形式表达式。可见在进行一次积分之后，消除了二阶项，但同时放宽了解要求，因此称之为weak form

5.在comsol中的表现形式

5.1 comsol 弱表达式方程

在comsol中弱形式方程的形式如下：

对比上式，积分方程中可以表达为

故方程在comsol中的弱表达式即为右边的积分项：

-k*test(Tx)*Tx+Q*test(T)

其中，test(Tx)为试函数的导数，test(T)为试函数；Tx为温度的导数

5.2 边界条件

该问题中有两个边界条件，边界方程如下

（1）在x=0处指定了热通量q，其方向向右为+，故在comsol中添加弱贡献项如下：

q*test(T)

（2）在x=L处指定了温度TL,所以在comsol中添加弱贡献项如下：

-u*test(T)-test(u)*(T-TL)

其中u为辅助因变量，以保证采用通量的形式使得L处的温度为TL。

求解的结果如图

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