图像引用

图一

图二

笛卡尔坐标系的(边长)与(边权)

笛卡尔坐标系中, 任意两点比如(1,1) (2,2), 他们之间的距离dist(即两点的连线), 一定是固定的定死了的, 是任何人都不可以修改的;
… 这里说的 (两点间的距离) , 不是用户所能定义的, 而是 (相对于坐标系)的距离, 即: 线段在坐标系里的长度
因为直角坐标系中, 两点的连线距离为: 欧几里得距离, 因此 dist=2dist = \sqrt{2}dist=2
… 因为在实际问题(比如几何)中, 通常两点的连线, 就对应为多边形的(边长), 我们这里称: (两点间的连线距离dist)为: 边长

由于两点的边长在直角坐标系里, 是(固定死的);
因此, 如果用户要自定义 (两点的距离), 比如上面的(1, 1), (2,2) 就规定他俩的距离为(1+2) - (1+2) = 0,
其实这个距离, 称为 (权值wth), 即(边权)

有些题, 会直接说: 对于两点(x1, y1) (x2,y2), 我们规定其距离为 关于x1,y1,x2,y2的式子
其实这种说法不是太准确…
因为点坐标是(直角坐标), 说明是在(直角坐标系)里; 那么, 两个点的距离(边长) 是固定死的, 就是(欧几里得距离)
… 但是, 题目非要说是: 定义(边长)为…, 个人感觉不太严谨, 但我们心里要知道, 其实它所定义距离, 叫做(边权), 不是(边长)

见图二

任何一个多边形都存在唯一的 外接矩形 : 满足使该多边形处在外接矩形的内部, 且外接矩形最小 (这个小, 可以是周长或面积, 下面会讲到)

图中的8边形(黑色) 的外接矩形为 (绿色矩形).
虽然图中是个凸多边形, 实际上, 对凹多边形也适用, 只要是多边形都存在其唯一的(外接矩形)

… 具体的, (求一个多边形的外接矩形的算法) 为: 假设外接矩阵坐标为L, R, U, D
… (LR为矩阵左/右侧边的横坐标, UD为矩阵上/下侧边的纵坐标)
… 令X为多边形所有顶点的横坐标集合X = {x1, x2, ...}, Y为所有顶点的纵坐标
… 则, L = min( X), R = max( X), D = min( Y) U = max( Y)
… 这个算法看起来很简单, 需要牢记住

此时, 这个外接矩形是有 L, R, U, D 四个数值来表示, 还有一种方式, 来表示这个外接矩阵
其实和上面的方式差不多, 上面是得到L, R, U, D四个数值, 而这四个值每个值都来源于一个点
比如, 上图中, L 来自于 A点, U 来自 B点, R 来自 E点 D 来自 H点, 我们就以A, B, E, H这 四个点 来表示外接矩形
表示, A.x, B.y, E.x, H,y 为 L, U, R, D 即外接矩形的四条边的坐标
即, 获得四个点, 记作Vl, Vu, Vr, Vd (V为Vertice), 满足: Vl.x = L, Vu.y = U, Vr.x = R, Vd.y = D (LURD和上面一样)
在上图中, Vl = A, Vu = B, Vr = E, Vd = H; 其实和上面表示法差不多;

… 假如, 有多个点在外接矩形的一条边上, 则取任意一个点即可;
… 比如, 假如G 和 H都在那条绿色边上, 则你选G, H都可以, 因为, 只要保证G/H . y = D即可, 我们只关注其(y坐标), x坐标无所谓

但是要注意, 此时, 这4个点可能会有重复的!!!
比如, 你想象下, 将A点移动到绿色矩形的(左上角), 将 E点移动到绿色矩形的(右下角)
然后, 将所有的点, 都放到绿色矩形的(内部), 不能在边上;
那么, 此时, Vl 和 Vu表示的点都是A, Vr, Vd表示的点都是E;
因此下面这种表示外接矩形的方式, 就是为了引入这个知识

即, 多边形的 (2/3/4)个点可以确定其外接矩形, 所谓(确定), 就是确定外接矩形的形态/坐标等信息.
… 在外接矩形上即不在矩形内部 的 (多边形点) 可能很多> 4个
… 但是, 只需要最多4个点就可以确定外接矩形的形态;

一个N边形
… 如果用2个点可以确定外接矩形, 则说明: 这两个(多边形的点) 位于 (外接矩形)的对角线的两个顶点
… 如果用3个点可以确定外接矩形, 则说明: 某一个(多边形的点) 位于 (外接矩形)的某个顶点
… 然后另外两个(多边形的点), 位于 (外接矩形)的两条边上不在外接矩阵的顶点)
… 否则, 用4个点可以确定外接矩形, 则说明: 这4个(多边形的点) 均位于 (外接矩形)的四条边上 不在外接矩形的顶点

曼哈顿距离

个人认为, 叫做(曼哈顿距离), 也不太严谨…
因为如果是在(直角坐标系)里, 两点的距离, 一定是欧几里得距离, 不可能是曼哈顿距离;
… (欧几里得距离, 有欧几里得空间 `笛卡尔坐标系就是欧几里得空间); (而, 曼哈顿距离, 貌似没有曼哈顿空间…)
即, 其实是 (定义两点间的边权为: 曼哈顿距离);

所以, 我们以下, 不会称呼两点间的曼哈顿距离为…, 而是称之为两点间的曼哈顿边权为…

(曼哈顿边权)与(欧几里得距离)的转换

见图一

曼哈顿边权的三角形法则
定义Manh( a, b)为: ab两点的曼哈顿边权
则对于一个三角形ABC (AB为斜边), 有: Manh( A, B) = Manh( A, C) + Manh( C, B)
… 这与(欧几里得距离)不同, 欧几里得是(平方的关系 ab^2 = ac^2 + cb^2), 而曼哈顿边权是直接相加

曼哈顿边权的平行法则
如果AB两点连线是平行于(X或Y轴), 其实也就是AB的X坐标或Y坐标是相同的, 则 AB的曼哈顿边权等于 AB边长(即欧几里得距离)

这两个法则, 会导致下面的结论:

在直角坐标系中, 任意线段AB的(曼哈顿边权), 等于两条线段AC, CB的边长之和
… 其中, 这两条线段AC, CB, 必须是AB线段对应的直角三角形的两个直角边; 且AC, CB要么平行于X轴, 要么平行Y轴

以上图为例, AB两点的曼哈顿边权=AC边长+CB边长AB两点的曼哈顿边权 = AC边长 + CB边长AB两点的曼哈顿边权=AC边长+CB边长
这个性质非常重要, 是(曼哈顿边权) 与 (欧几里得距离)的等价关系, 经常会用到两者的转换

(凸多边形的曼哈顿周长)与(外接矩形的欧几里得周长)

见图二

需要前置知识, 需要回顾多边形的外接矩形和 (曼哈顿边权)与(欧几里得距离)的转换

定义: 两点的(边权)为: 曼哈顿距离; 定义, 一个多边形的周长为: 所有(边权)之和;

那么, 我们要求一个 凸多边形 的边权周长; (也就是: 曼哈顿周长)

它自然等于 (N个边的边权之和), 也就是 一堆曼哈顿距离的公式|x1 - x2| + |y1 - y2|

假如要通过预处理优化为O(1) 来求解一个凸多边形的曼哈顿周长

去研究(这堆曼哈顿公式) 是徒劳的, 因为, 不管怎么简化, 里面也是有N个X坐标和 N个Y坐标, 不可能优化到O(1)

这就用到了, (曼哈顿边权) 与 (欧几里得边长) 的转换;

你先将每个(曼哈顿边权), 替换为: 两个 (欧几里得边长); 也就是替换为图中的(红色边)
… 然后, 将(红色边) 通过平移到绿色的外接矩形上,
… 你会发现, 所有红色边的边长等于绿色矩形的周长

但它只适应于(凸多边形), 对于(凹多边形) 并不成立!! 你可以去证明

即, 多边形的曼哈顿周长等于其外接矩形的欧几里得周长

例题

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