文章目录

1、Barycentric Coordinates（重心坐标）
- 1.1 重心坐标概念
- 1.2 重心坐标计算方式
- 1.3 重心坐标插值
2 重心坐标计算公式推导
3 透视投影插值矫正
- 3.1 透视矫正后的`深度插值公式`
- 3.2 一个非常重要的透视投影的细节
- 3.2 更通用的：`任意属性插值公式`

1、Barycentric Coordinates（重心坐标）

仅供参考，数学很弱，不保证正确性。。但是看了应该会有收获

1.1 重心坐标概念

以2D为例：

三角形内部任何一个点(包括顶点)都可以表示成三个顶点的线性组合。满足以下关系式的三个系数(α，β，γ)就是该点的重心坐标。还有一个限制条件是这三个系数必须非负，否则就在三角形外了
简而言之，就是三角形内部一个点(x,y)在重心坐标下的表示就是(α，β，γ)
其中三个顶点自己的重心坐标分别是
A：(1,0,0)
B：(0,1,0)
C：(0,0,1)

1.2 重心坐标计算方式

对于三角形内部点P如何计算它的重心坐标

方法1：面积比

A的系数α：其对应的三角形面积A_A(红色部分)占总面积的比值
B的系数β：其对应的三角形面积A_B(黄色部分)占总面积的比值
C的系数γ：其对应的三角形面积A_C(蓝色部分)占总面积的比值

方法2：利用推导出来的公式计算
先说结论，后面第二部分详解推导过程
β=(y−yA)(xC−xA)−(x−xA)(yC−yA)(yB−yA)(xC−xA)−(xB−xA)(yC−yA)γ=(y−yA)(xB−xA)−(x−xA)(yB−yA)(yC−yA)(xB−xA)−(xC−xA)(yB−yA)α=1−β−γ\color{red}\large β=\frac{ (y- y_{\tiny A})(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})-(x - x_{\tiny A})(y_{\tiny C} - y_{\tiny A}) }{(y_{\tiny B} - y_{\tiny A})(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})-(x_{\tiny B} - x_{\tiny A})(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})}\\ \: \\ \large γ=\frac{ (y- y_{\tiny A})(x_{\tiny B} - x_{\tiny A})-(x - x_{\tiny A})(y_{\tiny B} - y_{\tiny A}) }{(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})(x_{\tiny B} - x_{\tiny A})-(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})(y_{\tiny B} - y_{\tiny A})}\\ \: \\ α=1-β-γ\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:β=(yB−yA)(xC−xA)−(xB−xA)(yC−yA)(y−yA)(xC−xA)−(x−xA)(yC−yA)γ=(yC−yA)(xB−xA)−(xC−xA)(yB−yA)(y−yA)(xB−xA)−(x−xA)(yB−yA)α=1−β−γ

1.3 重心坐标插值

已知重心坐标的计算方法，怎么插值属性呢？

算出来的重心坐标(α，β，γ)，其实就相当于一个权重比，直接把对应的V_AV_BV_C换成uv坐标、颜色、法线、深度值、材质属性,V即所求

2 重心坐标计算公式推导

已知2D平面内△ABC△ABC△ABC三个顶点的坐标A:(xA,yA)，B:(xB,yB)，C:(xC,yC)\large A:(x_A,y_A)，B:(x_B,y_B)，C:(x_C,y_C)A:(xA,yA)，B:(xB,yB)，C:(xC,yC)以及三角形内部任意点P的坐标P:(x,y)\large P:(x, y)P:(x,y)

点PPP一定满足两个条件：
{P=αA+βB+γC⋯⋯⋯⋯①α+β+γ=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯②\begin{cases} P=\alpha A + \beta B +\gamma C\cdots\cdots\cdots\cdots① \\ \alpha+\beta+\gamma = 1 \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots② \end{cases}{P=αA+βB+γC⋯⋯⋯⋯①α+β+γ=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯②

如何根据已知条件计算出α、β、γ\alpha、\beta、\gammaα、β、γ ？

Step 1
公式②代入①，我们可以消除一个未知量（这里我把α先干掉了，101课程中是干掉的γ，过程都是一样的）
P=(1−β−γ)A+βB+γCP = (1-β-γ)A+βB+γCP=(1−β−γ)A+βB+γC
打开括号，合并同类项并简单移项，很容易能得出
P−A=β(B−A)+γ(C−A)⋯⋯⋯⋯③P-A=β(B-A)+γ(C-A)\cdots\cdots\cdots\cdots③P−A=β(B−A)+γ(C−A)⋯⋯⋯⋯③

这个公式，可以按照向量运算来理解，AP→=βAB→+γAC→\overrightarrow {AP} = β\overrightarrow {AB}+γ\overrightarrow {AC}AP=βAB+γAC
【突然发现图中我两个向量写反了。。向量AB和向量AC应该互换一下，我有空再改过来吧】

Step 2
由公式③，将已知点A、B、C、PA、B、C、PA、B、C、P的坐标代入，可得
(x−xAy−yA)=β(xB−xAyB−yA)+γ(xC−xAyC−yA)\large \begin{pmatrix} x - x_{\tiny A} \\y- y_{\tiny A} \end{pmatrix}= β\large\begin{pmatrix} x_{\tiny B} - x_{\tiny A} \\ y_{\tiny B} - y_{\tiny A} \end{pmatrix}+ γ\large\begin{pmatrix}x_{\tiny C} - x_{\tiny A} \\ y_{\tiny C} - y_{\tiny A} \end{pmatrix}(x−xAy−yA)=β(xB−xAyB−yA)+γ(xC−xAyC−yA)
拆开写，可得方程组(两个未知数，两个方程)
{(x−xA)=β(xB−xA)+γ(xC−xA)⋯⋯④(y−yA)=β(yB−yA)+γ(yC−yA)⋯⋯⋅⑤\begin{cases} (x - x_{\tiny A}) =β(x_{\tiny B} - x_{\tiny A})+γ(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})\cdots\cdots④\\ (y- y_{\tiny A})=β(y_{\tiny B} - y_{\tiny A})+γ(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})\cdots\cdots\cdot⑤ \end{cases}{(x−xA)=β(xB−xA)+γ(xC−xA)⋯⋯④(y−yA)=β(yB−yA)+γ(yC−yA)⋯⋯⋅⑤

④×(yC−yA)，⑤×(xC−xA)④\times(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})，⑤\times(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})④×(yC−yA)，⑤×(xC−xA)得：
(x−xA)(yC−yA)=β(xB−xA)(yC−yA)+γ(xC−xA)(yC−yA)⋯⋯⑥(y−yA)(xC−xA)=β(yB−yA)(xC−xA)+γ(yC−yA)(xC−xA)⋯⋯⑦(x- x_{\tiny A})(y_{\tiny C} - y_{\tiny A}) = β(x_{\tiny B} - x_{\tiny A})(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})+\cancel{γ(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})} \cdots\cdots⑥\\ (y- y_{\tiny A})(x_{\tiny C} - x_{\tiny A}) = β(y_{\tiny B} - y_{\tiny A})(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})+\cancel{γ(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})}\cdots\cdots⑦ (x−xA)(yC−yA)=β(xB−xA)(yC−yA)+γ(xC−xA)(yC−yA)⋯⋯⑥(y−yA)(xC−xA)=β(yB−yA)(xC−xA)+γ(yC−yA)(xC−xA)⋯⋯⑦
⑦−⑥⑦-⑥⑦−⑥得到β，同理可得γ

Step 3
最终α、β、γα、β、γα、β、γ表达式
β=(y−yA)(xC−xA)−(x−xA)(yC−yA)(yB−yA)(xC−xA)−(xB−xA)(yC−yA)γ=(y−yA)(xB−xA)−(x−xA)(yB−yA)(yC−yA)(xB−xA)−(xC−xA)(yB−yA)α=1−β−γ\color{red}\large β=\frac{ (y- y_{\tiny A})(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})-(x - x_{\tiny A})(y_{\tiny C} - y_{\tiny A}) }{(y_{\tiny B} - y_{\tiny A})(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})-(x_{\tiny B} - x_{\tiny A})(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})}\\ \: \\ \large γ=\frac{ (y- y_{\tiny A})(x_{\tiny B} - x_{\tiny A})-(x - x_{\tiny A})(y_{\tiny B} - y_{\tiny A}) }{(y_{\tiny C} - y_{\tiny A})(x_{\tiny B} - x_{\tiny A})-(x_{\tiny C} - x_{\tiny A})(y_{\tiny B} - y_{\tiny A})}\\ \: \\ α=1-β-γ\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:β=(yB−yA)(xC−xA)−(xB−xA)(yC−yA)(y−yA)(xC−xA)−(x−xA)(yC−yA)γ=(yC−yA)(xB−xA)−(xC−xA)(yB−yA)(y−yA)(xB−xA)−(x−xA)(yB−yA)α=1−β−γ

到此，重心坐标的插值就算结束了，单独在二维平面或者三维平面根据四个点的坐标算出重心坐标(权重)然后插值P的法线、uv坐标等等一切信息，都可得到非常正确的结果了

但是，投影后的插值就很有讲究了

透视投影的基础知识，这里就不再赘述了，其相关详细步骤，可看 这篇文章的4.3部分

对于空间中一个特定的三角形而言，只有三个顶点携带了坐标信息(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)，对其做透视投影操作，这三个点变到了裁剪空间，此时，如果我们想要得到一张深度图的做法是什么？

建立深度缓存的方法

先建立一个深度缓存，其实就是个二维数组zbuffer[width][height]，并且初始化每个数组元素为无穷
遍历每个三角形所覆盖的每个像素，将该像素所对应的场景中的那个点的z值跟zbuffer对应位置的z作比较，小则覆盖

问题就是怎么知道该像素的z是多少？

(1) 你可能会想到，我们已经知道投影变换后的三个顶点在屏幕上的坐标(xA,yA)，(xB,yB)，(xC,yC)\large(x_{\tiny A},y_{\tiny A})，(x_{\tiny B},y_{\tiny B})，(x_{\tiny C},y_{\tiny C})(xA,yA)，(xB,yB)，(xC,yC)和目标像素P(x,y)(x,y)(x,y)。算出P点的重心坐标，然后我有已知三个顶点的深度Z，插值即可。想法很美好，但这样的做法是错的，不能用插值后算出的(α，β，γ)(α，β，γ)(α，β，γ)直接插值的原因很多，部分原因如下：

投影后三角形的形状一般情况下会发生变化。空间中一个正三角形，投影后可能变成一个特别窄的三角形，这时候我算出来的该像素的权重比(重心坐标)肯定跟空间中该像素对应的点在三角形内的权重比不同，所以直接插值，不可取。
投影后，视椎体远/近平面的点，经过Squish变换后，z值是不变的，但是位于视椎体中间的点，变换后z的绝对值会变大，因此在投影后的三角形上直接插值，不可取

（2）可能还会想到，对屏幕空间的目标像素P点应用透视投影矩阵的逆，做个逆变换变回原来的空间中，那就知道P点在空间中的准确位置了，然后再插值深度，再写回深度缓存中P像素位置中。 OK这样做很准确，但是，每个像素都要做一次逆矩阵运算，我深度图的分辨率可能几百万个像素，这计算量不能接受

啰里巴嗦一大堆，希望我表达得没有问题，有些问题脑子里清楚，但是说出来就不知道怎么说。如果有错也请大家多多指教

3 透视投影插值矫正

3.1 透视矫正后的`深度插值公式`

国际惯例，先说结论，如果对推导没兴趣的直接套公式即可
1Z=α′1ZA+β′1ZB+γ′1ZC\displaystyle\large\color{red} \frac{1}{Z}=α'\frac{1}{Z_A}+β'\frac{1}{Z_B}+γ'\frac{1}{Z_C}Z1=α′ZA1+β′ZB1+γ′ZC1
符号说明：带 ′'′ 的都是投影后的值，不带的是投影前的值

Z：屏幕空间的点P所对应的光差空间的点的深度值，我们求解的目标值α′、β′、γ′：屏幕空间上算出来的重心坐标（权重）ZA、ZB、ZC：空间中ABC三个顶点的深度值Z：屏幕空间的点P所对应的光差空间的点的深度值，我们求解的目标值 \\α'、β'、γ'：屏幕空间上算出来的重心坐标（权重） \\Z_A、Z_B、Z_C：空间中ABC三个顶点的深度值Z：屏幕空间的点P所对应的光差空间的点的深度值，我们求解的目标值α′、β′、γ′：屏幕空间上算出来的重心坐标（权重）ZA、ZB、ZC：空间中ABC三个顶点的深度值

推导过程核心思想：通过投影后的三角形内点P′P'P′的α′、β′、γ′α'、β'、γ'α′、β′、γ′，计算出投影前三角形内点PPP的深度值

Step 1：找到投影前后的重心坐标的关系

对公式1=α′+β′+γ′1=α'+β'+γ'1=α′+β′+γ′做恒等变形
ZZ=ZAZAα′+ZBZBβ′+ZCZCγ′\frac{Z}{Z}=\frac{Z_A}{Z_A}α'+\frac{Z_B}{Z_B}β'+\frac{Z_C}{Z_C}γ'ZZ=ZAZAα′+ZBZBβ′+ZCZCγ′
左右同×Z
Z=(ZZAα′)ZA+(ZZBβ′)ZB+(ZZCγ′)ZC………①Z =(\frac{Z}{Z_A}α')Z_A+(\frac{Z}{Z_B}β')Z_B+(\frac{Z}{Z_C}γ')Z_C\dots\dots\dots①Z=(ZAZα′)ZA+(ZBZβ′)ZB+(ZCZγ′)ZC………①
对比投影前的插值公式
Z=αZA+βZB+γZC⋯⋯⋯⋯②Z = αZ_A+βZ_B+γZ_C\cdots\cdots\cdots\cdots②Z=αZA+βZB+γZC⋯⋯⋯⋯②
联立①②，得
α=ZZAα′，β=ZZBβ′，γ=ZZCγ′α=\frac{Z}{Z_A}α'，β=\frac{Z}{Z_B}β'，γ=\frac{Z}{Z_C}γ'α=ZAZα′，β=ZBZβ′，γ=ZCZγ′
Step 2：得到透视修正后深度插值公式

因为1=α+β+γ1=α+β+γ1=α+β+γ，且α=ZZAα′，β=ZZBβ′，γ=ZZCγ′\displaystyle α=\frac{Z}{Z_A}α'，β=\frac{Z}{Z_B}β'，γ=\frac{Z}{Z_C}γ'α=ZAZα′，β=ZBZβ′，γ=ZCZγ′

所以
1=ZZAα′+ZZBβ′+ZZCγ′⋯⋯⋯③1 = \frac{Z}{Z_A}α'+\frac{Z}{Z_B}β'+\frac{Z}{Z_C}γ'\cdots\cdots\cdots③1=ZAZα′+ZBZβ′+ZCZγ′⋯⋯⋯③
对③左右同×1Z\times \frac{1}{Z}×Z1
1Z=α′1ZA+β′1ZB+γ′1ZC\displaystyle\color{red}\Large\frac{1}{Z}=α' \frac{1}{Z_A}+β'\frac{1}{Z_B}+γ'\frac{1}{Z_C}Z1=α′ZA1+β′ZB1+γ′ZC1

到此已经能很好的生成一张深度缓存、shadow map了

3.2 一个非常重要的透视投影的细节

注意在完成透视投影后，在屏幕空间上的三个顶点A′B′C′A'B'C'A′B′C′的zzz分量ZA，ZB，ZCZ_A，Z_B，Z_CZA，ZB，ZC存放的并不是原本位于观察空间中的三个顶点的正确深度，应用投影矩阵后这个z分量存放的深度已经变远了，而原本的Z，经过变换后，跑到的齐次坐标下的w分量上

下面我们取视椎体内部任意一点P=(x,y,z,1)P=(x,y,z,1)P=(x,y,z,1)，应用透视投影矩阵
[2nr−l0l+rl−r002nt−bb+tb−t000n+fn−f−2nfn−f0010]⋅[xyz1]=[不关心懒得算不重要z]\Large \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l}&0&\frac{l+r}{l-r}&0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b}&\frac{b+t}{b-t}&0 \\ 0&0&\frac{n+f}{n-f}&\frac{-2nf}{n-f}\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}·\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \small 不关心\\\small懒得算\\ \small不重要 \\ \color{red}\mathbf z \end{bmatrix}⎣⎡r−l2n0000t−b2n00l−rl+rb−tb+tn−fn+f100n−f−2nf0⎦⎤⋅⎣⎡xyz1⎦⎤=⎣⎡不关心懒得算不重要z⎦⎤

ok，应用透视投影矩阵后，屏幕空间的三角形顶点，vertex[0].w() 就是顶点0在透视投影之前的正确的深度值，带插值公式的时候ZAZ_AZA取这个值，不要取.z()分量

关于Squish矩阵会把点推向远处的问题也特别简单，任选一点，左乘M_squish然后判断z的变化即可

3.2 更通用的：`任意属性插值公式`

III 为三角形内目标点的目标属性

插值公式：I=αIA+βIB+γIC\large I = αI_A+βI_B+γI_C I=αIA+βIB+γIC
又因为
α=ZZAα′，β=ZZBβ′，γ=ZZCγ′\largeα=\frac{Z}{Z_A}α'，β=\frac{Z}{Z_B}β'，γ=\frac{Z}{Z_C}γ'α=ZAZα′，β=ZBZβ′，γ=ZCZγ′
因此I=α′IA+β′IB+γ′ICI = α'I_A+β'I_B+γ'I_CI=α′IA+β′IB+γ′IC又能写成
I=Z⋅(α′IAZA+β′IBZB+γ′ICZC)\large\color{red} I=Z·(α'\frac{I_A}{Z_A}+β'\frac{I_B}{Z_B}+γ'\frac{I_C}{Z_C})I=Z⋅(α′ZAIA+β′ZBIB+γ′ZCIC)

I:I:I: 屏幕空间三角形内部点的目标属性(颜色、法线、纹理坐标等)
IA、IB、ICI_A、I_B、I_CIA、IB、IC：三个顶点的对应属性
ZA、ZB、ZCZ_A、Z_B、Z_CZA、ZB、ZC：三个顶点的观察空间的Z值（投影前的）

以下是GAMES101作业中的部分代码，以此作为案例分析如何插值任意属性

//这里计算得到重心坐标
auto [alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(i+0.5, j+0.5, t.v);// w_reciprocal就是该像素p对应投影前的深度值z
float w_reciprocal = 1.0 / (alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());// 但是这里又用了任意属性插值公式， 并且IA取的v[0].z()
float z_interpolated = w_reciprocal*(alpha*v[0].z()/v[0].w() + beta*v[1].z()/v[1].w() + gamma*v[2].z()/v[2].w());

w_reciprocal=1α′1ZA+β′1ZB+γ′1ZC\displaystyle\large w\_reciprocal=\frac{1}{α' \frac{1}{Z_A}+β'\frac{1}{Z_B}+γ'\frac{1}{Z_C}}w_reciprocal=α′ZA1+β′ZB1+γ′ZC11

\quad\quad w_reciprocal就是 1w\large \frac{1}{w}w1，w就是投影前的深度值Z。计算出来的Z作为下面的Z，去计算任意属性

z_interpolated=Z⋅(α′IAZA+β′IBZB+γ′ICZC)\displaystyle\large z\_interpolated =\color{red}Z\color{normal} ·(α'\frac{I_A}{Z_A}+β'\frac{I_B}{Z_B}+γ'\frac{I_C}{Z_C})z_interpolated=Z⋅(α′ZAIA+β′ZBIB+γ′ZCIC)

\quad\quad OK任意属性就是的深度值。也可以取别的属性。

通过上面可以总结，插值任意属性的过程分两步：

（1）插值zzz，因为插值任意属性的公式里必须用到z
（2）插值任意属性III。IA、IB、ICI_A、I_B、I_CIA、IB、IC的选取方法是屏幕空间的三个顶点所包含的信息（如上面的A_Z用到的就真的是V[0].z()），不管投影后有没有变，直接带入，应该就是这个公式的价值。目前我能想到的是这样，留个坑以后确定了再填

可以看到，上面很多都是不太严谨的基于案例的个人猜测，但是应该对跟我一样的对此过程不太熟悉的朋友们有一些些帮助，具体的更严谨的推导，建议搜索别的文章进行学习

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【重心坐标插值、透视矫正插值】原理以及用法见解(GAMES101深度测试部分讨论)

文章目录

1、Barycentric Coordinates（重心坐标）

1.1 重心坐标概念

1.2 重心坐标计算方式

1.3 重心坐标插值

2 重心坐标计算公式推导

3 透视投影插值矫正

3.1 透视矫正后的`深度插值公式`

3.2 一个非常重要的透视投影的细节

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3 透视投影插值矫正

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