一、题目

二、解题思路

对于该题，我首先把它当成了图的问题，结果没找到突破口。后来看到题目：最大子树和以及关键字：未修建时每朵花不孤立、N个节点N-1条边，意味着这是一颗最小生成树，于是选择将该问题当成树的问题。
既然是树的问题，那么意味着我们需要找到树的根节点。接着想到，对于美丽指数为负数的节点，必不可能为根节点，原因见下图：

图中白色数值表示节点美丽指数，黑色数值表示节点编号。左图描述了节点1不需要保留的情况，右边图描述了节点1需要保留的情况。对于左图，节点1不需要保留，那必然不能作为根节点，因为作为根节点意味着该节点一定会被保留；对于右图，虽然节点1需要保留，但是它与节点2和节点3作为根节点时的情况重复，因此也不需要作为根节点进行讨论。综上，负数节点不可能作为根节点。
那不妨先任意找一个美丽指数为正数的节点作为根节点。以题目给的样例为例，进行分析，当以节点4为根节点时，树的情况见下图：

树的结构一画出，就可以看出问题其实很容易求解。显然，叶子节点是否保留是最容易确认的，当叶子节点为负数时，必然需要修剪掉，当为正数时，必然需要保留；紧接着，与叶子节点相连的节点是否需要保留同样就可以确定。即对于图中描述的情况，节点1和节点7是否保留，只需要看以节点1和节点7为根节点的子树的最大美丽指数是否大于0即可，如果大于0，那么需要保留，小于0，那么修剪即可。不难看出，这个过程明显是递归过程，因为当子节点的情况确定后，父节点的情况就会相应确定。
刚才的分析，我们是任意选择了一个美丽指数为正数的节点作为根节点，那么需要分析，当根节点不同时，结果是否不同，如果相同，只需要随便选一个节点作为根节点即可，但如果不同，则需要逐个遍历。看下图所示情况：

此时，最优值为1。但是，很容易看出，如果我们以节点5为根节点，最优值为7。所以，我们需要进行逐个遍历。值得注意的是，部分结果是可以重复利用的，比如当根节点为4时，对于子节点7来说，当它为根节点时，根节点为5的子树的最大美丽指数情况已经确定，那么当根节点为7时，子节点为5的最大美丽指数情况实际上已经不需要再重新计算（当把树看做有向图时，该性质会更容易理解）。
当你以为已经结束时，实际上还未结束。因为有一种情况被忽视：所有节点的美丽指数均为负数。实际上，该种情况很容易解决，只需要保留美丽指数最大的那个节点就够了，其他的都修剪掉。

三、代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
int ret=0, max_beauty=0, min_negtive=1, N;
vector<vector<int>> adj(16001, vector<int>()),child_beauty(16001, vector<int>());
vector<int> positive_node,beauty(16001);//计算当根节点为parent时，它的子树(以adj[parent][node_index]为根节点)的最大美丽指数
void search_child_beauty(int parent, int node_index){if(child_beauty[parent][node_index]!=-1)return;int now_node=adj[parent][node_index];int now_beauty=beauty[now_node];for(int i=0;i<child_beauty[now_node].size();i++){if(adj[now_node][i]==parent)continue;//由于子树的最大美丽指数必然为非负数，所以当为负数时，那一定未计算过if(child_beauty[now_node][i]==-1)search_child_beauty(now_node, i);now_beauty+=child_beauty[now_node][i];}//最大美丽指数一定是非负数，因为如果子树的最大美丽指数为负数时，我们可以直接将整棵子树修建掉if(now_beauty>0)child_beauty[parent][node_index]=now_beauty;elsechild_beauty[parent][node_index]=0;
}int main(){cin>>N;for(int i=1;i<=N;i++){cin>>beauty[i];ret+=beauty[i];if(beauty[i]>=0){//美丽指数为负数的节点，不可能当树的根节点，具体原因可自己画图理解positive_node.push_back(i);//记录一下最大可能值，方便提早结束遍历。如果某次修剪能把所有的负数花朵去掉，那必然是最优结果max_beauty+=beauty[i];}if(min_negtive>0||beauty[i]>min_negtive)min_negtive=beauty[i];}//构建邻接表以及初始化每个节点子树的最大美丽指数for(int i=1;i<N;i++){int a,b;cin>>a>>b;adj[a].push_back(b);child_beauty[a].push_back(-1);adj[b].push_back(a);child_beauty[b].push_back(-1);}//遍历，当节点positive_node[i]作为根节点时，该树对应的最大美丽指数for(int i=0;i<positive_node.size();i++){int now_node=positive_node[i];int now_beauty=beauty[now_node];for(int j=0;j<adj[now_node].size();j++){if(child_beauty[now_node][j]==-1)search_child_beauty(now_node, j);now_beauty+=child_beauty[now_node][j];}if(now_beauty>ret)ret=now_beauty;if(ret==max_beauty)break;}if(positive_node.size()==0)cout<<min_negtive;else cout<<ret;
}

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P1122 最大子树和

一、题目

二、解题思路

三、代码

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