题目

实现高斯消去、列主元高斯消去，LU分解分别求解线性方程组

方法一：高斯消去法

消去过程：
l i k = a i k ( k − 1 ) / a k k ( k − 1 ) ( i = k + 1 , k + 2 , . . . , n ) l_{ik} = a_{ik}^{(k-1)}/a_{kk}^{(k-1)} (i=k+1,k+2,...,n) lik=aik(k−1)/akk(k−1)(i=k+1,k+2,...,n)
a i j ( k ) = a i j ( k − 1 ) − l i k a j k ( k − 1 ) ( i , j = k + 1 , k + 2 , . . . , n ) a_{ij}^{(k)} = a_{ij}^{(k-1)}-l_{ik}a_{jk}^{(k-1)}(i,j=k+1,k+2,...,n) aij(k)=aij(k−1)−likajk(k−1)(i,j=k+1,k+2,...,n)
b i ( k ) = b i ( k − 1 ) − l i k b k ( k − 1 ) ( i = k + 1 , k + 2 , . . . , n ) b_{i}^{(k)} = b_{i}^{(k-1)}-l_{ik}b_{k}^{(k-1)}(i=k+1,k+2,...,n) bi(k)=bi(k−1)−likbk(k−1)(i=k+1,k+2,...,n)
回代过程：
x n = b n ( n − 1 ) / a n n ( n − 1 ) x_{n}= b_{n}^{(n-1)}/a_{nn}^{(n-1)} xn=bn(n−1)/ann(n−1)
x k = ( b k ( k − 1 ) − ∑ j = k + 1 n a k j ( k − 1 ) x j ) / a k k ( k − 1 ) x_{k}= (b_{k}^{(k-1)}-\sum_{j=k+1}^{n}a_{kj}^{(k-1)}x_j )/a_{kk}^{(k-1)} xk=(bk(k−1)−j=k+1∑nakj(k−1)xj)/akk(k−1)
在消元法第k次迭代时，首先，寻找第k列中从k到n处的绝对值最大的一个，然后互换该行和第k行的所有位置。然后再消元。这样的好处是能控制舍入误差的扩大和传播。基本算法如下：

import numpy as np
A = np.array([[10,-7,0,1],[-3, 2.099999,6,2 ],[5,-1,5,-1],[2,1,0,2]])
b = np.array([[8],[5.900001],[5],[1]])
def guass(A,b):n = b.shape[0]A=A.astype('float')b=b.astype('float')#消元for k in range(n-1):    #k第一层循环，第（0~n-1）行
#         print('第',k+1,'次的初值')
#         print(A)
#         print(b)for i in range(k+1,n):    #i第二层循环，第（k+1,n）行mik = A[i,k]/A[k,k]for j in range(k+1,n):    A[i,j] = A[i,j] - mik*A[k,j]b[i] = b[i] - mik*b[k]
#         print('第',k+1,'次消元后的值')
#         print(A)
#         print(b)#回代solution = np.zeros(n)solution[n-1] = b[n-1]/A[n-1,n-1]    #改为n-1for i in range(n-2,-1,-1):for j in range(i+1,n):solution[i] = solution[i] + A[i,j]*solution[j]solution[i] = (b[i] - solution[i])/A[i,i]return solutionguass(A,b)

结果截图

方法二：列主元素高斯消元法

def guass_zhuyuan(A,b):n = b.shape[0]A=A.astype('float')b=b.astype('float')#寻找列主元素for k in range(n-1):     #k第一层循环，第（0~n-2）行
#         print('第',k+1,'次的初值')
#         print(A)
#         print(b)arr = abs(A[k:n,k])  #每一列最大值的数组value = max(arr)     #最大值position = np.argmax(arr)    #最大值索引#print(position)if position != 0:
#             A[k,k:n-1],A[position+k,k:n-1] = A[position+k,k:n-1],A[k,k:n-1]
#             b[k],b[position+k] = b[position+k],b[k]A[[k,position+k],k:n] = A[[position+k,k],k:n]b[[k,position+k],:] = b[[position+k,k],:]
#         print('第',k+1,'次交换后的值')
#         print(A)
#         print(b)#消元for i in range(k+1,n):    #i第二层循环，第（k+1,n-1）行mik = A[i,k]/A[k,k]for j in range(k+1,n):    #j从k开始循环，不是k+1A[i,j] -= mik*A[k,j]b[i] = b[i] - mik*b[k]
#         print('第',k+1,'次消元后的值')
#         print(A)
#         print(b)#回代solution = np.zeros(n)solution[n-1] = b[n-1]/A[n-1,n-1]    #改为n-1for i in range(n-2,-1,-1):for j in range(i+1,n):solution[i] = solution[i] + A[i,j]*solution[j]solution[i] = (b[i] - solution[i])/A[i,i]return solution

结果截图

方法三：LU分解

def LUfenjie(A,b):n = b.shape[0]A = A.astype('float')b = b.astype('float')U = np.zeros(A.shape)L = np.zeros(A.shape)U[0,:] = A[0,:]    #U的第一行元素和A的第一行元素相等L[1:n,0] = A[1:n,0]/U[0,0]    #L的每一行的第一列元素和U第一个元素相乘=A的对应元素#分解#U为上三角元素 k=1~n-1行 j=k~n-1列 r=0~k-2行 i=k+1~n-1行
#     for k in range(1,n):
#         for j in range(k,n):
#             U[k,j] = A[k,j] - L[k,0:k-1] * U[0:k-1,j]
#         for i in range(k+1,n):
#             L[i,k] = (A[i,k]-L[i,0:k-1] * U[0:k-1,k])/U[k,k]#分解#U为上三角元素 k=1~n-1行 j=k~n-1列 r=0~k-2行 i=k+1~n-1行for k in range(1,n):    for j in range(k,n):delta = 0for r in range(0,k):delta += L[k,r] * U[r,j]U[k,j] = A[k,j] - deltafor i in range(k+1,n):theta = 0for r in range(0,k):theta += L[i,r] * U[r,k]L[i,k] = (A[i,k] - theta)/U[k,k]#求解yy = np.zeros(b.shape[0])#忘了初始化……y[0] = b[0]for i in range(1,n):alpha = 0for j in range(0,i):alpha += L[i,j]*y[j].Ty[i] = b[i] - alpha#求解xx = np.zeros(b.shape[0])x[n-1] = y[n-1]/U[n-1,n-1]for i in range(n-2,-1,-1):gama = 0 for j in range(i+1,n):gama += U[i,j]*x[j].Tx[i] = (y[i] - gama )/U[i,i]return (x)

结果截图

结果总结

方法	结果
高斯迭代法	[-6.03391825e-10, -1.00000000e+00, 1.00000000e+00, 1.00000000e+00]
列主元素高斯	[ 2.66453526e-16, -1.00000000e+00, 1.00000000e+00, 1.00000000e+00]
LU分解	[-6.03391825e-10, -1.00000000e+00, 1.00000000e+00, 1.00000000e+00]

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【计算方法】实验二：python实现高斯消去、列主元高斯消去，LU分解分别求解线性方程组

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题目

方法一：高斯消去法

结果截图

方法二：列主元素高斯消元法

结果截图

方法三：LU分解

结果截图

结果总结

【计算方法】实验二：python实现高斯消去、列主元高斯消去，LU分解分别求解线性方程组相关推荐

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