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本文中的主要参考文献如下：

【图像算法】图像特征：几何不变矩–Hu矩 - SkySeraph - 博客园: https://www.cnblogs.com/skyseraph/archive/2011/07/19/2110183.html

图像的矩特征 - ☆Ronny丶 - 博客园: https://www.cnblogs.com/ronny/p/3985810.html

《图像处理、分析与机器视觉》

《数字图像处理》冈萨雷斯–第十一章-不变矩

一、矩的概念

图像识别的一个核心问题是图像的特征提取，简单描述即为用一组简单的数据（图像描述量）来描述整个图像，这组数据越简单越有代表性越好。良好的特征不受光线、噪点、几何形变的干扰。图像识别发展几十年，不断有新的特征提出，而图像不变矩就是其中一个。

针对于一幅图像，我们把像素的坐标看成是一个二维随机变量(X,Y)(X,Y)，那么一幅灰度图像可以用二维灰度密度函数来表示，因此可以用矩来描述灰度图像的特征。

不变矩(Invariant Moments)是一处高度浓缩的图像特征，具有平移、灰度、尺度、旋转不变性。M.K.Hu在1961年首先提出了不变矩的概念。1979年M.R.Teague根据正交多项式理论提出了Zernike矩。下面主要介绍这两种矩特征的算法原理与实现。

二、Hu矩

2.1 (p+q)阶不变矩的定义

对于灰度分布为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的图像，其(p+q)(p+q)(p+q)阶矩定义为：

mpq=∬xpyqf(x,y)dxdyp,q=0,1,2,⋯m_{pq}=\iint x^py^qf(x,y)dxdy\qquad p,q=0,1,2,\cdotsmpq=∬xpyqf(x,y)dxdyp,q=0,1,2,⋯

其(p+q)(p+q)(p+q)阶中心矩定义为：

μpq=∬(x−x0)p(y=y0)qf(x,y)dxdy\mu_{pq}=\iint(x-x_0)^p(y=y_0)^qf(x,y)dxdyμpq=∬(x−x0)p(y=y0)qf(x,y)dxdy

其中，矩心为：

x0=m10m00,y0=m01m00x_0=\frac {m_{10}}{m_{00}},y_0=\frac {m_{01}}{m_{00}}x0=m00m10,y0=m00m01

由于数字图像属于离散化数据，离散状态下，f(x,y)f(x,y)f(x,y)的(p+q)(p+q)(p+q)阶普通矩和中心矩的公式如下：

mpq=∑x=1M∑y=1Nxpyqf(x,y)m_{pq}=\sum_{x=1}^M\sum_{y=1}^Nx^py^qf(x,y)mpq=x=1∑My=1∑Nxpyqf(x,y)

μpq=∑x=1M∑y=1N(x−x0)p(y−y0)qf(x,y)其中p,q=0,1,2,⋯\mu_{pq}=\sum_{x=1}^M\sum_{y=1}^N(x-x_0)^p(y-y_0)^qf(x,y)\quad\text{其中}\quad p,q=0,1,2,\cdotsμpq=x=1∑My=1∑N(x−x0)p(y−y0)qf(x,y)其中p,q=0,1,2,⋯

离散化后的矩心x₀与y₀的计算方法同连续状态下的计算公式。

p、q即在x、y这两个像素位置上的多少次方。在p、q不为0时，求mpqm_{pq}mpq可以看作 x的p次方与 y的q次方作为权重叠加到当前x、y位置上的灰度值，然后累加。当求m00m_{00}m00时，可知仅为图像的灰度值进行累加。

2.2 归一化中心距

当图像发生变化，如平移、旋转等，mpqm_{pq}mpq也发生变化。而由于μpq\mu_{pq}μpq式与中心有关，其对平移不敏感，但依旧对旋转敏感。为了解决这个问题，这里提出归一化中心矩：

ypq=μpqμ00ry_{pq}=\frac {\mu_{pq}}{\mu_{00}^r}ypq=μ00rμpq

式中：r=p+q+22p+q=2,3,⋯r=\frac {p+q+2}{2} \quad p+q=2,3,\cdotsr=2p+q+2p+q=2,3,⋯

归一化中心矩使用的是中心矩进行的计算。可以注意到，归一化中心矩计算ypqy_{pq}ypq时使用的μ00\mu_{00}μ00从数值上来看，就等同于m00m_{00}m00。

2.3 Hu矩定义

Hu利用二阶和三阶中心矩（即p+q=2,3p+q = 2,3p+q=2,3）构造了7个不变矩I1∼I7I_1\sim I_7I1∼I7，这7个不变矩构成一组特征量，Hu.M.K在1962年证明了他们具有旋转，缩放和平移不变性,它们在连续图像条件下可以保持平移、缩放和旋转不变。具体定义如下:

{I1=y20+y02I2=(y20−y02)2+4y112I3=(y30−3y12)2+(3y21−y03)2I4=(y30+y12)2+(y21+y03)2I5=(y30−3y12)(y30+y12)[(y30+y12)2−3(y21+y03)2]+(3y21−y03)(y21+y03)[3(y30+y12)2−(y21+y03)2]I6=(y20−y02)[(y30+y12)2−(y21+y03)2]+4y11(y30+y12)(y21+y03)I7=(3y21−y03)(y30+y12)[(y30+y12)2−3(y21+y03)2]−(y30−3y12)(y21+y03)[3(y30+y12)2−(y21+y03)2]\begin{cases} I_1 = y_{20}+y_{02}\\\\ I_2 = (y_{20}-y_{02})^2+4y_{11}^2\\\\ I_3 = (y_{30}-3y_{12})^2+(3y_{21}-y_{03})^2\\\\ I_4 = (y_{30}+y_{12})^2+(y_{21}+y_{03})^2\\\\ I_5=(y_{30}-3y_{12})(y_{30}+y_{12})[(y_{30}+y_{12})^2-3(y_{21}+y_{03})^2]+(3y_{21}-y_{03})(y_{21}+y_{03})[3(y_{30}+y_{12})^2-(y_{21}+y_{03})^2]\\\\ I_6=(y_{20}-y_{02})[(y_{30}+y_{12})^2-(y_{21}+y_{03})^2]+4y_{11}(y_{30}+y_{12})(y_{21}+y_{03})\\\\ I_7=(3y_{21}-y_{03})(y_{30}+y_{12})[(y_{30}+y_{12})^2-3(y_{21}+y_{03})^2]-(y_{30}-3y_{12})(y_{21}+y_{03})[3(y_{30}+y_{12})^2-(y_{21}+y_{03})^2] \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧I1=y20+y02I2=(y20−y02)2+4y112I3=(y30−3y12)2+(3y21−y03)2I4=(y30+y12)2+(y21+y03)2I5=(y30−3y12)(y30+y12)[(y30+y12)2−3(y21+y03)2]+(3y21−y03)(y21+y03)[3(y30+y12)2−(y21+y03)2]I6=(y20−y02)[(y30+y12)2−(y21+y03)2]+4y11(y30+y12)(y21+y03)I7=(3y21−y03)(y30+y12)[(y30+y12)2−3(y21+y03)2]−(y30−3y12)(y21+y03)[3(y30+y12)2−(y21+y03)2]

2.4 Hu矩计算代码

参考自：【图像算法】图像特征：几何不变矩–Hu矩 - SkySeraph - 博客园，修正了部分格式问题与变量名，方便对照上面进行查看。

double I[7] = {0};        //HU不变矩
bool HuMoment(IplImage* img)
{int bmpWidth = img->width;int bmpHeight = img->height;int bmpStep = img->widthStep; int bmpChannels = img->nChannels;uchar* pBmpBuf = (uchar*)img->imageData;double u00=0,u11=0,u20=0,u02=0,u30=0,u03=0,u12=0,u21=0;     //中心矩 double x0=0,y0=0;                                           //计算中心距时所使用的临时变量（x-x'） double y20=0,y02=0,y11=0,y30=0,y03=0,y12=0,y21=0;           //规范化后的中心矩double t1=0,t2=0,t3=0,t4=0,t5=0;                            //临时变量， int center_x0=0,center_y0=0;                                //矩心 int i,j;                                                    //循环变量//  获得图像的区域重心(普通矩)double m10=0,m01=0,m00=0;                                   //0阶矩和1阶矩  for(j=0;j<bmpHeight;j++)//y{for(i=0;i<bmpWidth;i++)//x{m10+=i*pBmpBuf[j*bmpStep+i];m01+=j*pBmpBuf[j*bmpStep+i];m00+=pBmpBuf[j*bmpStep+i];}}center_x0=(int)(m10/m00+0.5);center_y0=(int)(m01/m00+0.5);//  计算二阶、三阶矩(中心矩)u00=m00;                        //归一化中心矩计算时使用的u00从数值上来看，就等同于m00。for(j=0;j<bmpHeight;j++) {for(i=0;i<bmpWidth;i++)//x { x0=(i-center_x0); y0=(j-center_x0); u11+=x0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i]; u20+=x0*x0*pBmpBuf[j*bmpStep+i]; u02+=y0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i]; u03+=y0*y0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i];u30+=x0*x0*x0*pBmpBuf[j*bmpStep+i]; u12+=x0*y0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i]; u21+=x0*x0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i]; } } //  计算规范化后的中心矩: uij/pow(u00,((i+j+2)/2) , 而u00 = m00，故直接用m00y20=u20/pow(m00,2); y02=u02/pow(m00,2); y11=u11/pow(m00,2);y30=u30/pow(m00,2.5); y03=u03/pow(m00,2.5);y12=u12/pow(m00,2.5); y21=u21/pow(m00,2.5);//  计算中间变量t1=(y20-y02); t2=(y30-3*y12); t3=(3*y21-y03); t4=(y30+y12);t5=(y21+y03);//  计算不变矩 I[0]=y20+y02; I[1]=t1*t1+4*y11*y11; I[2]=t2*t2+t3*t3; I[3]=t4*t4+t5*t5;I[4]=t2*t4*(t4*t4-3*t5*t5)+t3*t5*(3*t4*t4-t5*t5); I[5]=t1*(t4*t4-t5*t5)+4*y11*t4*t5;I[6]=t3*t4*(t4*t4-3*t5*t5)-t2*t5*(3*t4*t4-t5*t5);return true;
}

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