本文将按照以下目录展开介绍：

什么是图像矩；
如何计算图像矩：
什么是Hu矩；
如何利用Opencv计算一个图像Hu矩；
如何利用Hu-矩来寻找两个形状的相似性；

1. 什么是图像力矩

图像矩是图像像素灰度值的加权平均，下面通过一个简单的例子来说明。
假设有一个单通道的二值图像 I ,位置 (x，y) 出的灰度值是 I(x，y), I(x，y) 的取值是 0 或 1。最简单的一种力矩可以通过以下方程来定义：

上述方程图像矩是通过计算所有像素点灰度值之和，换句话说，所有像素灰度值的权重都为1，而并没有根据像素在图像中的位置来决定。对于一个二值图像，图像矩又可以通过以下两种不同的方式来描述：

白色区域（灰度值为255）的像素点的数目；
白色区域的面积；
到目前为止，对图像矩的理解可能并没有那么深刻，下面是三幅二值图像（又可以称为三个Blob）：(1) S (2) 旋转S (3) K

经过以上对二值图像矩的介绍，S与旋转S的图像矩应该是接近的，S与K的图像矩差异比较大。

2. 如何计算图像矩

2.1 raw moments

如下是一个更复杂的矩：

其中 i 和 j 是整数(不是上角标，而是作为幂次)，这种矩通常被称为“raw moments（原始矩）” 用以与后文将要提到的“central moments（中心矩）” 进行区分。注意到以上矩的计算方式依赖于像素灰度值和像素在图像中的位置，所以直觉上能感觉出来这种矩捕捉到了某些形状的概念。

利用图像矩计算质心

以下公式用来计算质心：
、

2.2 Central moments

“central moments”与raw moments” 非常类似，但在“central moments” 中我们会把质心从x, y 中提取出来，如以下公式：

以上“central moments” 具有平移不变性，换句话说，不论Blob在二值图像中的什么位置，只要形状相同，“central moments” 就相同；

2.3 normalized central moments

按照下式更改方程，会给图像矩添加尺度不变性，以下方程又称为normalized central moments(归一化中心矩)：

3. 什么是Hu矩

对于形状匹配来说，我们希望计算出来的矩具有平移不变性，旋转不变性，尺度不变性，Hu矩就可以满足这一要求；hu矩 是7个数字的组合，每个数字都是利用central moments计算得来，前6个被证明包含平移不变性，旋转不变性，尺度不变性和翻转不变性，第7个的符号与图像翻转有关。计算方式如下：

4. 如何利用Opencv计算一个图像Hu矩

Opencv中存在一个有效的函数来计算Hu矩，这个函数是HuMoments(), 下面一步一步的来看如何计算图像中存在的形状的hu矩。

4.1 将图像转换读取灰度图

Mat im = imread(filename,IMREAD_GRAYSCALE);

4.2 利用阈值将图像二值化

threshold(im, im, 128, 255, THRESH_BINARY);

4.3 计算hu矩

Opencv有内置函数来计算Hu矩，利用central moment(中心矩)做输入

// 计算矩
Moments moments = moments(im, false);// 计算hu矩
double huMoments[7];
HuMoments(moments, huMoments);

4.4 log转换
通过以上步骤计算得到的Hu矩值分布范围较大，例如第一幅图片中"K"的hu-矩：

h[0] = 0.00162663
h[1] = 3.11619e-07
h[2] = 3.61005e-10
h[3] = 1.44485e-10
h[4] = -2.55279e-20
h[5] = -7.57625e-14
h[6] = 2.09098e-20

对比发现h[0]和h[6]数量级相差很大，所以我们需要log转换将所有值分布到相同的范围里：

经过以上转换，所有值分布在一个可比的规模上：

H[0] = 2.78871
H[1] = 6.50638
H[2] = 9.44249
H[3] = 9.84018
H[4] = -19.593
H[5] = -13.1205
H[6] = 19.6797

log转换代码如下：


for(int i = 0; i < 7; i++)
{huMoments[i] = -1 * copysign(1.0, huMoments[i]) * log10(abs(huMoments[i]));
}

5.利用Hu矩的形状匹配

正如前边提到的，所有的7个数字具有平移不变性，旋转不变性，尺度不变性，如果一个形状是另一个的镜像图片，那么他们的hu矩中第七个数字符号是相反的，我们看一个例子，如下图显示了6个图片和他们的Hu矩结果：

正如上图所示，图像K0.png是字母K； S0.png是字母S；移动S形成S1.png；添加尺度变化形成S2.png；添加旋转形成S3.png；进一步翻转形成S4.png；
可以注意到，S0，S1，S2，S3和S4 的Hu矩在数值上都是相近的，S4 的H[6] 数值符号与其他的相反，同时我们还发现数值与K0的hu矩值有较大的差异；

5.1 利用matchShapes计算两个形状的差异

这一节介绍如何利用Hu矩寻找两个形状的差异。如果差异很小，说明两个形状在外观上相似；如果差异很大，说明两个形状在外观上相差大；Opencv提供了一个内置函数 matchShapes 来利用图像的Hu矩计算他们的差异性。

double d1 = matchShapes(im1, im2, CONTOURS_MATCH_I1, 0);
double d2 = matchShapes(im1, im2, CONTOURS_MATCH_I2, 0);
double d3 = matchShapes(im1, im2, CONTOURS_MATCH_I3, 0);

有三种差异度量方式，通过第三个参数来控制，第二种方式结果略好。那么我们来看一下这三种度量方式是如何定义的，定义 D(A,B) 是形状 A 和B之间的差异，三种方式如下：

CONTOURS_MATCH_I1
CONTOURS_MATCH_I2
CONTOURS_MATCH_I3

当我们计算S0, K0，S4之间的差异性，结果如下：（值越小说明二者的相似性越高）

Shape Distances Between ————————-
S0.png and S0.png : 0.0
S0.png and K0.png : 0.10783054664091285
S0.png and S4.png : 0.008484870268973932

5.1 自定义差异性测量

当然你也可以自己定义差异测量方式，比如利用欧几里得距离：

首先计算Hu矩的log转换，然后利用自己定义的方式来计算差异性。

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