u检验、t检验、F检验、卡方检验详细分析

要点：

一、正态分布是统计学的基础，它对于各种假设检验极其的重要，t分布，F分布，卡方分布都是基于正态分布衍生出来的，而且中心极限定理也证明了，多数分布在样本量n足够大的情况下，其样本均值服从正态分布。

二、假设检验的步骤

1 提出假设，包括无效假设H0和备择假设H1。

2 预设检验水准 $\alpha$ ，一般设为0.05，概率小于0.05为小概率事件

3 选定检验方法，检验方法的选定要依据抽样的样本数量等因素进行确定

4 依据检验方法，确定在H0假设下的发生概率，如果小于0.05，则证明，H0假设为小概率事件，就可以拒绝H0

三、假设检验的实质是否定，是为了否定H0。

一、u检验（总体均值，总体方差已知的情况下使用）

u检验，又称为z检验，是基于正态分布的检验。举个简单的例子：

一台机器生成某种金属球，直径服从正态分布N(10，0.04)。抽取100个样本后，发现样本的均值为9.8cm，请问该机器生产的产品直径的均值是否为10cm。在0.05的显著性水平下

1、H0： $u_{0}=10cm$ H1: $u_{0}\neq 10cm$

2、取 $\alpha=0.05$

3、样本量为100，所以这里选择u检验（为什么会选择u检验，而不选择t检验？在总体方差已经知道的情况下，不管样本数量多少都可以选择u检验。而如果总体方差未知，且样本数量小于40，则应该选择t检验。那么如果总体方差未知，但是样本数量超过40了，则u检验和t检验都可以使用，因为样本量大的情况下，t分布趋向于正态分布）

4、计算

$u=\frac{9.8-10}{0.2/\sqrt{100}}=-10$

可以发现这里是双边检验，所以查 $u_{0.025}$ =1.96。所以拒绝H0

二、t检验（总体均值已经知道，但总体方差未知，只知道样本的方差）

（一）、单总体t检验

一台机器生成某种金属球，直径服从正态分布。抽取16个样本后，发现样本的均值为9.8cm，方差为0.04，请问该机器生产的产品直径的均值是否为10cm。在0.05的显著性水平下

1、H0： $u_{0}=10cm$ H1: $u_{0}\neq 10cm$

2、取 $\alpha=0.05$

3、总体方差未知，样本量为16，所以这里选择t检验（如果样本数量较大，比如超过40，亦可以选择u检验）

4、计算

$t=\frac{9.8-10}{0.2/\sqrt{16}}=-4$

查 $t_{0.025}(15)=2.49$ ，所以拒绝H0

（二）、两总体t检验（这两个总体的方差齐，且服从正态分布）

两台机器A,B生产某种金属球，从A生产的产品中取16件，发现其均值为9.8cm，方差为0.04，从B生产的产品中取9件，发现其均值为9.7cm，方差为0.015，是否可以认定A,B产品的直径有显著性差异，在0.05的显著性水平下。

1、H0： $\mu _{A} =\mu_{B}$ H1: $\mu _{A} \neq \mu_{B}$

2、取 $\alpha=0.05$

3、判断两个总体的均值是否有显著性差异，要用t检验

4、计算

$t=\frac{9.8-9.7}{\sqrt{\frac{0.04}{16}+\frac{0.015}{9}}}=1.5506$

$t_{0.025}(16+9-2)=2.3978$ ，所以接受H0。

三、卡方检验（总体均值未知，单个正态总体的卡方检验，卡方检验的目标是为了检验样本的总体是否符合某种分布）

一台机器生成某种金属球，直径服从正态分布。抽取16个样本后，发现样本的均值为9.8cm，方差为0.04，请问该机器生产的金属球的直径的方差是否为0.02。

1、H0： $\sigma ^{2}=0.02$ H1: $\sigma ^{2}\neq 0.02$

2、取 $\alpha=0.05$

3、总体均值未知，样本量为16，所以这里选择卡方检验

4、计算

$\chi ^{2}=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}=\frac{(16-1)*0.04^{2}}{0.02 ^{2}}=60$

查 $\chi ^{2}_{0.05}(15)=24.995$ ，所以拒绝H0，说明金属球的直径不符合方差为0.02的正态分布。

注：卡方检验还有另一种计算方式为

$\sum_{i}^{n}\frac{A_{i}-np_{i}}{np_{i}}$

四、F检验（总体均值未知，两个正态总体的F检验，F检验的目标是为了检验两个样本的总体的方差是否相同，t检验中的方差齐是可以用F检验来进行检验的）

两台机器A,B生产某种金属球，从A生产的产品中取10件，发现其方差为0.02，从B生产的产品中取10件，发现其方差为0.015，是否可以认定A,B产品的方差相等，在0.05的显著性水平下。

1、H0： $\sigma_{A} ^{2}=\sigma_{B} ^{2}$ H1: $\sigma_{A} ^{2}\neq \sigma_{B} ^{2}$

2、取 $\alpha=0.05$

3、判断两个总体的方差是否齐，要用F检验

4、计算

$F=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i}^{n}X_{i}^{2}}{\frac{1}{m}\sum_{j}^{m}X_{j}^{2}}=\frac{D_{i}}{D_{j}}$

将数据带入得到F=1.333，查 $F_{0.05}(10,10)=2.978$ ，所以接受H0，说明在0.05的显著性水平下可以认为方差相等。

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