前言

方程组 A X = b AX=b AX=b，其中 A = [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix} A=⎣ ⎡1232462682810⎦ ⎤方程组为 [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ b 1 b 2 b 3 ] \begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix} ⎣ ⎡1232462682810⎦ ⎤⎣ ⎡x1x2x3x4⎦ ⎤=⎣ ⎡b1b2b3⎦ ⎤
观察方程组的系数矩阵，第一行和第二行相加得到第三行，因此A矩阵的各行是线性相关的；消元求解的过程中， b i b_i bi 是增广矩阵的一部分，因此 b 1 + b 2 = b 3 b_1+b_2=b_3 b1+b2=b3才能够让方程组有解，下面进行消元处理。
[ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] → [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ] \begin{bmatrix}1&2&2&2&b_1\\2&4&6&8&b_2\\3&6&8&10&b_3\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&2&2&b_1\\0&0&2&4&b_2-2b_1\\0&0&0&0&b_3-b_2-b_1\end{bmatrix} ⎣ ⎡1232462682810b1b2b3⎦ ⎤→⎣ ⎡100200220240b1b2−2b1b3−b2−b1⎦ ⎤
如果 A X = b AX=b AX=b有解，必须满足 b 3 − b 2 − b 1 = 0 b_3-b_2-b_1=0 b3−b2−b1=0即， b 1 + b 2 = b 3 b_1+b_2=b_3 b1+b2=b3跟前面的推论一致。从增广矩阵的消元结果可以知道 x 2 , x 4 x_2,x_4 x2,x4是自由变量可以自由赋值。式子 A X = b AX=b AX=b其实可以看作是矩阵A左乘了X，本质上是对A的列向量进行线性组合，因此b必须要在A的列空间内，否则方程无解。

特解

从字面意义上看，特解应当是一个特殊的解，其特殊性在于我们可以对自由变量任意赋值，本例中我们用最简单粗暴的赋值 x 2 = x 4 = 0 x_2=x_4=0 x2=x4=0，那么方程组可以表达为： x 1 + 2 x 3 = b 1 2 x 3 = b 2 − b 1 x_1+2x_3=b_1\\2x_3=b_2-b_1 x1+2x3=b12x3=b2−b1回顾前面说的，要让方程组有解， b i b_i bi务必满足 b 1 + b 2 = b 3 b_1+b_2=b_3 b1+b2=b3假设 b 1 = 1 , b 2 = 5 , b 3 = 6 b_1=1,b_2=5,b_3=6 b1=1,b2=5,b3=6，方程组可以表示为： x 1 + 2 x 3 = 1 2 x 3 = 4 x_1+2x_3=1\\2x_3=4 x1+2x3=12x3=4因此可以解除方程的解： x 3 = 2 , x 1 = − 3 x_3=2,x_1=-3 x3=2,x1=−3，因此方程组的特解为：
x p = [ − 3 0 2 0 ] x_p=\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\0\end{bmatrix} xp=⎣ ⎡−3020⎦ ⎤

通解

A X = b AX=b AX=b的通解是一个特解加上A的零空间。矩阵A的零空间是 A X = 0 AX=0 AX=0的两个解的线性组合，即 c 1 [ − 2 1 0 0 ] + c 2 [ 2 0 − 2 1 ] c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix} c1⎣ ⎡−2100⎦ ⎤+c2⎣ ⎡20−21⎦ ⎤。因此方程 A X = b AX=b AX=b的通解是： x = [ − 3 0 2 0 ] + c 1 [ − 2 1 0 0 ] + c 2 [ 2 0 − 2 1 ] x=\begin{bmatrix}-3\\0\\2\\0\end{bmatrix}+c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix} x=⎣ ⎡−3020⎦ ⎤+c1⎣ ⎡−2100⎦ ⎤+c2⎣ ⎡20−21⎦ ⎤其中 c 1 , c 2 c_1,c_2 c1,c2是任意实数。

秩

矩阵的秩就是矩阵的主元数，一般用 r r r表示，一个 m × n m \times n m×n的矩阵，必然满足 r ≤ m r\leq m r≤m和 r ≤ n r\leq n r≤n。

列满秩

列满秩 r = n r=n r=n，实际上就是矩阵A中没有线性相关的列，方程的解中不存在自由变量，方程组有唯一解，或者无解。矩阵A的零空间只有零向量。

行满秩

行满秩 r = m < n r=m<n r=m<n，实际上是方程组之间线性无关，主变量 r r r个，自由变量 n − r n-r n−r个。方程组必然存在解，但存在自由变量，因此有无限种可能

方阵满秩

方阵满秩 r = m = n r=m=n r=m=n，矩阵可逆，A的零空间只有零向量，无论 b b b取何值， A X = b AX=b AX=b都只有唯一解。

r = m = n r=m=n r=m=n	r = n < m r=n<m r=n<m	r = m < n r=m<n r=m<n	r < n , r < m r<n,r<m r<n,r<m
R = I R=I R=I	R = [ I 0 ] R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix} R=[I0]	R = [ I F ] R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix} R=[IF]	R = [ I F 0 0 ] R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix} R=[I0F0]
唯一解	无解或唯一	无穷多解	无解或无穷多解

CP8.可解性与解的结构相关推荐

介绍求解AX=b:可解性与解的结构
前面用高斯消元法或矩阵LU分解求解线性方程组的解,主要是针对有唯一解(矩阵A可逆)的情况,下面进一步介绍线性方程组有多个解的情况下,解的求解. 转载于:https://www.cnblogs.com/ ...
线性代数：第四章向量组的线性相关性（2）向量空间线性方程组解的结构
第三节向量空间一．数字概念定义3.1 设V是n维向量集合,且非空,若 (i) 则, : (ii) 则 . 则称V是一个向量空间. 定义3.2 设是两个向量空间,若 ,则称的 ...
数学 - 线性代数导论 - #9 Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量
线性代数导论 - #9 Ax=b的解:存在性.解法.解的结构.解的数量终于,我们在b为参数的一般情况下,开始分析Ax=b的解,包括标题中的四个方面. 首先是解的存在性. 从几何上说,当且仅当向量b位 ...
线性代数学习笔记（二十九）——方程组解的结构（一）
停更2年多了,做事得有始有终,继续更新... 本篇笔记回顾了线性方程组解的三种情况,并讨论了齐次线性方程组解的结构,并介绍了齐次线性方程组解的相关性质.其中重点讨论了基础解系定义,以及基础解系的求法和 ...
LA@线性方程组解的结构@Cramer法则@高斯消元法
文章目录 LA@线性方程组解的结构@Cramer法则@高斯消元法 preface 矩阵方程和线性方程组 Cramer's Rule@克莱姆法则 new 齐次化推论证明Cramer's Rule 高斯 ...
JDK中的Timer和TimerTask详解目录结构： Timer和TimerTask 一个Timer调度的例子如何终止Timer线程关于cancle方式终止线程反复执行一个任务 sche
JDK中的Timer和TimerTask详解目录结构: Timer和TimerTask 一个Timer调度的例子如何终止Timer线程关于cancle方式终止线程反复执行一个任务 schedu ...
自定义类型详解：结构体（内存对齐、位段） + 枚举 + 联合
目录一.结构体 1.特殊的声明 2.结构体自引用 3.结构体变量的定义和初始化 4.打印结构体二.==结构体内存对齐== 1.内存对齐结构体嵌套如何求为什么存在内存对齐? 2.修改默认对齐数 ...
C语言结构体详解（结构体定义，使用，结构体大小等）
c语言结构体详解 1.c语言结构体 1.1 结构体基础知识 1.2 结构体声明 1.3 结构体特殊声明 1.4 结构体的自引用 1.5 结构体的大小的计算 1.5.1了解结构体大小计算规则 1.5.2 ...
android 4.2目录结构,关于android的4.2的0文件夹的详解(目录结构挂载分析)
关于android的4.2的0文件夹的详解 ---- android 4.0 ---- 在galaxy nexus(GN)手机上userdata分区很大,被挂在/data目录,用户的数据通常是放在sd ...

CP8.可解性与解的结构

前言

特解

通解

秩

列满秩

行满秩

方阵满秩

CP8.可解性与解的结构相关推荐

最新文章

热门文章