漫步数学分析十一—

在给出RnR^n中紧集的精确定义前，我们需要介绍一些术语。对于集合A⊂RnA\subset R^n，当且仅当存在一个常数M≥0M\geq0使得A⊂D(0,M)A\subset D(0,M)，那么就称该集合是有界的(bounded)，所以一个集合被邻域原点的某个邻域D(0,M)D(0,M)包住时，它就是有界的；换句话说，对于所有的x∈A,∥x∥<Mx\in A,\Vert x\Vert。集合AA的一个覆盖(cover)就是一系列集合Ui{U_i}，他们的并包含AA；如果每个UiU_i是开的，那么我们称其为开覆盖(open cover)。给定覆盖的一个子覆盖(subcover) 是集合的子系列，他们的并也包含AA或者说覆盖AA；如果这个子系列只包含有限个集合，那么我们成其为有限子覆盖(finite subcover)。例如R2R^2中的邻域{D((x,0),1|x∈R)}\{D((x,0),1|x\in R)\}覆盖实数轴，并且所有圆心为整数的邻域D((n,0),1)D((n,0),1)是一个子系列，它是一个子覆盖。注意，圆心为偶数的邻域D((n,0),1)D((n,0),1)不是一个子覆盖。

注意：开覆盖不一定是可数个开集。

我们现在陈述主要的定理以及相关的定义。

定理1\textbf{定理1} 令A⊂RnA\subset R^n，那么下面的条件是等价的：

AA是闭的且有界。
AA的每个开覆盖有一个有限的子覆盖。
AA中的每个序列都有一个收敛的子序列，且收敛到AA中的点。

定义1\textbf{定义1} RnR^n中满足定理1中条件(i),(ii),(iii)\textrm{(i),(ii),(iii)}的子集称为紧集(compact)。

(i),(ii)\textrm{(i),(ii)}的等价性经常被称为海涅-博雷尔(Heine-Borel)定理，而(i),(iii)\textrm{(i),(iii)}的等价性经常被称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯(Bolzano-Weierstrass)定理。

注意：对于度量空间，一般而言(ii),(iii)\textrm{(ii),(iii)}是等价的，当时(i)\textrm{(i)}不等价于(ii),(iii)\textrm{(ii),(iii)}；对于任意的度量空间，我们可以用(ii)\textrm{(ii)}或(iii)\textrm{(iii)}来定义紧集。(i),(ii)\textrm{(i)},\textrm{(ii)} 和(i),(iii)\textrm{(i)},\textrm{(iii)}的等价性是RnR^n的特殊性质。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理直观上也比较好理解，如果AA是有界的，那么AA 中的任何点序列在某个地方是一簇的，如果AA是闭的，那么簇拥的点必须位于AA中。

海涅-博雷尔定理直观上不太明显，也许理解它最好的方式是考虑某些例子。

例1：\textbf{例1：}整个实数轴RR不是紧的，因为它是无界的。注意

{D(n,1)=(n−1,n+1)|n=0,±1,±2,…}

\{D(n,1)=(n-1,n+1)|n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}
是RR的开覆盖但没有有限开覆盖。

例2：\textbf{例2：}令A=(0,1]A=(0,1]，考虑开覆盖{(1/n,2)|n=1,2,3,…}\{(1/n,2)|n=1,2,3,\ldots\}。他们有开子覆盖。这一次因为AA不是闭的，所以条件(ii)\textrm{(ii)}失败；点0不在集合AA中。这个系列不是[0,1][0,1]的覆盖并且任何[0,1][0,1]的开覆盖必须有有限个开覆盖-上面的情况不可能存在这样的结论。

条件(iii)\textrm{(iii)}还有一个等价的表述，在某些情况下是非常有用的。

(iii)′\textrm{(iii)}^{'}对于AA的每个无限子集，他们的聚点都在AA中。

我们可以用闭集的方式来论述条件(ii)\textrm{(ii)}，这需要借助于AA有限交的属性，我们说集合Ai{A_i}有有限交的性质(finite intersection property)，当且仅当任意有限个AiA_i的交不为空，那么(ii)\textrm{(ii)}就等价于(ii)′\textrm{(ii)}^{'}。

(ii)′\textrm{(ii)}^{'}所有满足有限交性质的一系列闭集都有一个包含AA的非空交集。

我们会在附3的证明中看到，当(ii)\textrm{(ii)}用开覆盖的补表示时，(ii)′\textrm{(ii)}^{'}与(ii)\textrm{(ii)}的陈述是一样的。

例3：\textbf{例3：}确定下面集合的紧性

(a){x∈R|x≥0}\{x\in R|x\geq0\}
(b)[0,1]∪[2,3][0,1]\cup[2,3]
(c){(x,y)∈R2|x2+y2<1}\{(x,y)\in R^2|x^2+y^2

解：\textbf{解：}(a)不是紧集，因为它不是有界的。(b)紧集，因为它是闭集且有界。(c)不是紧集，因为它不是闭的。

例4：\textbf{例4：}令xkx_k是RnR^n中的点列且对所有的k,∥xk∥≤3k,\Vert x_k\Vert\leq 3，说明xkx_k有一个收敛的子序列。

解：\textbf{解：}集合A={x∈Rn|∥x∥≤3}A=\{x\in R^n|\Vert x\Vert\leq3\} 是闭的且有界，因此是紧集。因为xk∈Ax_k\in A，我们应用定理1(iii)\textrm{(iii)}即可得出结论。

例5：\textbf{例5：}在定理1(ii)\textrm{(ii)}中，条件每个可以替换成某些吗？

解：\textbf{解：}不能。令A=RA=R并且考虑由单个开集RR组成的开覆盖，显然它有一个有限的子覆盖，也就是它本身，当时RR是无界的，也就是说不是紧的。

例6：\textbf{例6：}令A={0}∪{1,1/2,…,1/n,…}A=\{0\}\cup\{1,1/2,\ldots,1/n,\ldots\}，说明定理1的条件(ii)\textrm{(ii)}满足。

解：\textbf{解：}令{Ui}\{U_i\}是AA的任意一个开覆盖，我们不惜说明它有一个有限的子覆盖。0位于某个开集中，我们说0∈U10\in U_1，因为U1U_1是开集且1/n→01/n\to 0，存在一个NN使得1/N,1/(N+1),…1/N,1/(N+1),\ldots位于U1U_1中，令1∈U2,…,1/(N−1)∈UN1\in U_2,\ldots,1/(N-1)\in U_N，那么U1,…,UNU_1,\ldots,U_N是一个有限的子覆盖，因为它是Ui{U_i}的一个有限子系列并且它包含AA的所有点。注意如果AA是集合1,1/2,…{1,1/2,\ldots}，那么上面的论述就失效了。

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