查找任意给定整数N范围内的所有质数（素数）及算法优化

1.基本思路

质数的基本定义是除了1和其本身没有其他的约数。用编程实现就是,在循环中用一个变量i（从2开始自增至K-1）除K，如果i的某个值能被K整除就退出循环，那么这个数K不是质数。当i都增至K-1时，还是不能被N整除，那么这个数K是质数。
这里是求N范围内的所有质数，因此还要用双重循环实现。

2.代码实现

static  void findPrimeNumbersByOrig(int num) {long startTime=System.currentTimeMillis();if (num <= 1) {System.out.println("0至" + num + "范围内没有质数。");} else if (num == 2) {System.out.println("0至" + num + "范围质数有2 ");} else if (num >= 3) {System.out.print("0至" + num + "范围质数有: 2 ");for (int j = 3; j <= num; j ++) { // 外层循环，遍历给定N范围内的所有值int i = 0;    //内层遍历的计数器，记录内层循环的次数for (i = 2; i <= j-1; i++) {  //内层循环，遍历2-(j-1)范围内是否有j的因数/*能被j范围的某个值整除，它不质数，退出内层循环，*查找下一个数j+1是否是质数，进入下一次外层循环*/if (0 == j % i) {  break;  }}if (i >= j-1) {   //内层计数器等于j-1，j范围内所有值（1、j除外）都不能被j整除，j是质数//System.out.print(j+" ");}}}long endTime=System.currentTimeMillis();System.out.println("算法优化前，查找质数用时"+(endTime-startTime)*0.001+"秒");}

3.反思回顾（一）

之前的思路中，将偶数也做了质数测试，基本常识告诉我们偶数不可能是质数，因此我们应该直接将偶数排除在外。另一方面，当除数i大于被除数k的一半时，此时一定不能整除（商为1，有余数）。当除数i大于被除数k的一半时，还进行是否整除判断是无意义的。

static void findPrimeNumbersByOptim(int num) {long startTime=System.currentTimeMillis();if (num <= 1) {System.out.println("0至" + num + "范围内没有质数。");} else if (num == 2) {System.out.println("0至" + num + "范围质数有2 ");} else if (num >= 3) {System.out.print("0至" + num + "范围质数有: 2 ");for (int j = 3; j <= num; j += 2) { //只测试num范围内的奇数是否是质数int i = 0;for (i = 2; i <= j / 2; i++) {// 只测试在2-j/2范围内是否有j的因数if (0 == j % i) {break;}}if (i >= j/2) {//System.out.print(j+" ");}}}long endTime=System.currentTimeMillis();System.out.println("算法优化后，查找质数用时"+(endTime-startTime)*0.001+"秒");}

调用方法，显示结果

public static void main(String[] cmds) {final int rangeOfFindPrimeNum=500001;   //要查找质数的范围findPrimeNumbersByOrig(rangeOfFindPrimeNum);  //调用优化前的质数查找方法findPrimeNumbersByOptim(rangeOfFindPrimeNum); //调用优化后的质数查找方法}

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4. 反思回顾（二）

上述优化后的算法仍有一些问题，还在做一些重复无意义的判断，内部循环的次数可以更少一些。我的思路来源于九九乘法表，只有“1x9=9 3x3=9"没有 “1x9=9 3x3=9 9x1=9"这种说法。因此一个除数i只自增至被除数j的平方根即可。除数增至除数的平方根之后，只是诸如“6/2=3"、"6/3=2"等两因数位置互换，实质上是同一对因数，没必要再去做循环判断。

static void findPrimeNumbersByMoreOptim(int num){long startTime=System.currentTimeMillis();if (num <= 1) {System.out.println("0至" + num + "范围内没有质数。");} else if (num == 2) {System.out.println("0至" + num + "范围质数有2 ");} else if (num >= 3) {System.out.print("0至" + num + "范围质数有: 2 ");for (int j = 3; j <= num; j += 2) {  //只测试num范围内的奇数是否是质数int i = 0;int squareRoot=(int)Math.sqrt(j);for (i = 2; i <= squareRoot; i++) {// 只测试在2-（根号j）范围内是否有j的因数if (0 == j % i) {break;}}if (i >squareRoot ) {//   System.out.print(j+" ");}}}long endTime=System.currentTimeMillis();System.out.println("算法再优化后，查找质数用时"+(endTime-startTime)*0.001+"秒");}

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5.反思回顾（三）

上述的算法中的内循环次数还可以减少，即在内循环中同时判断两个数是否是J的因数。实现方法是，分别从头（自增）尾（自减）向中间遍历。如判断17是否是质数，在一次循环中同时判断2（第一个测试的因数）和4（与√17最近的数）是否是17的因数。

static void findPrimeNumbersByMostOptim(int num){long startTime=System.currentTimeMillis();if (num <= 1) {System.out.println("0至" + num + "范围内没有质数。");} else if (num == 2) {System.out.println("0至" + num + "范围质数有2 ");} else if (num >= 3) {System.out.print("0至" + num + "范围质数有: 2 ");for (int j = 3; j <= num; j += 2) {  //只测试num范围内的奇数是否是质数int i = 0;int squareRoot=(int)Math.sqrt(j);int maxCircle=(squareRoot+2)/2;   //遍历次数比上一方法减半for (i = 2; i <=maxCircle; i++) {if (0 == j % i ||0==j%(squareRoot-i+2))  {    // 同时测试两个数字是否是j的因数break;}}if (i >maxCircle ) {// System.out.print(j+" ");}}}long endTime=System.currentTimeMillis();System.out.println("算法最优后，查找质数用时"+(endTime-startTime)*0.001+"秒");}

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