【考研线代】一. 行列式
文章目录
- 第一章 行列式
- 1.1 行列式的概念
- 1.2 行列式的性质
- 1.3 行列式的展开与计算
- 1.4 克拉默法则
第一章 行列式
1.1 行列式的概念
行列式是一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和
n阶排列：由1，2，3…，n组成的有序数组称为一个n阶排列。
逆序：如果一个大的数排在小数前面，则称这两个数构成了逆序。
逆序数：逆序的总数。
偶排列，奇排列：根据逆序数的奇偶性判断。
n阶行列式：偶排列前面带正号，奇排列前面带负号。
完全展开式：
适用于二阶和三阶行列式的展开方法：沿着正对角线相乘 - 沿着反对角线相乘 的 数
1.2 行列式的性质
- 转置的行列式（行列互换），值不变。
∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T| = |A| ∣AT∣=∣A∣
所以后续的性质中，如果行可以，那么列也可以。
- 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
特别的，如果某行的元素全都是0，那么行列式的值为0。
- 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
存在下面的特例：
- 两行相同，行列式为0
- 两行成比例，结合性质2，行列式依旧为0
- 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
- 把一行（列）的倍数 k 加到另一行（列），行列式不变。(使用频率最高)
1.3 行列式的展开与计算
余子式：去掉第i行j列得到的n-1阶的行列式。
代数余子式：带有-1的i+j次方的余子式
A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(−1)i+jMij
展开定理：通过展开某一行，乘对应位置的代数余子式
∣ A ∣ = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i m A i m |A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{im}A_{im} ∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+...+aimAim
- 相反：某一行的所有元素和 另一行相应元素的代数余子式 乘积之和等于0。
- 上三角或者下三角的行列式的值 = 对角线的值累乘
- 反三角的行列式的值，还需要判断一下逆序数的奇偶性。
- 两个拉普拉斯的展开式
- 范德蒙行列式：看到了直接写答案——连乘积
形式：第一行全是1，纵向看是幂的关系，计算时横向两两相减后相乘。
结论：
心得：
- 遇到爪型的行列式，尝试通过累加消去首行或者首列的内容。
- 遇到常规行列式，计算的时候需要先构造出几个0来，方便计算。
- 遇到有规律的0分布，可以考虑通过换行或者换列，再应用拉普拉斯展开式。
- 遇到对角线带未知数x 的行列式，求行列式分析其为三次方程时，分析哪两个数加加减减为0，就去消！注意提取x的公因数。
1.4 克拉默法则
- n个方程，n个未知数，且系数行列式|A| ！=0，那么方程组有唯一解
- 该方程的解为：
x i = ∣ A i A ∣ x_i = |\frac{A_i}{A}| xi=∣AAi∣
|A|是系数行列式，|Ai| 是第i列元素替换为方程右端常数项构成的行列式。
- 推论：
齐次线性方程组的系数行列式 ∣ A ∣ ≠ 0 ⟷ 方程组有唯一零解 齐次线性方程组的系数行列式|A| ≠0\longleftrightarrow 方程组有唯一零解 齐次线性方程组的系数行列式∣A∣=0⟷方程组有唯一零解
推论-反：
齐次线性方程组的系数行列式 ∣ A ∣ = 0 ⟷ 方程组存在非零解 齐次线性方程组的系数行列式|A| = 0\longleftrightarrow 方程组存在非零解 齐次线性方程组的系数行列式∣A∣=0⟷方程组存在非零解
用处：
- 可以考虑用克拉默法则来解方程
- 可以使用推论来证明行列式 = 0
例：若某某带未知数λ的齐次方程组仅有零解，求λ
思路：令系数行列式不等于0，求解即可。
不算刷题的话，感觉这第一章内容不是很多的说。
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