视锥体裁剪(从矩阵中提取6个裁剪面)
视锥体(frustum),是指场景中摄像机的可见的一个锥体范围。它有上、下、左、右、近、远,共6个面组成。在视锥体内的景物可见,反之则不可见。为提高性能,只对其中与视锥体有交集的对象进行绘制。
视锥体 |
我们计算出视锥体六个面的空间平面方程,将点坐标分别代入六个面的平面方程做比较,则可以判断点是否在视锥体内。
空间平面方程可表示为:
Ax+By+Cz=0
对于点(x1, y1, z1),有
若 Ax1+By1+Cz1 = 0,则点在平面上; 若 Ax1+By1+Cz1 < 0,则点在平面的一侧; 若 Ax1+By1+Cz1 = 0,则点在平面的另一侧;
求视锥平面系数1
这里介绍的算法,可以直接从世界、观察以及投影矩阵中计算出Viewing Frustum的六个面。它快速,准确,并且允许我们在相机空间(camera space)、世界空间(world space)或着物体空间(object space)快速确定Frustum planes。
我们先仅仅从投影矩阵(project)开始,也就是假设世界矩阵(world)和观察矩阵(view)都是单位化了的矩阵。这就意味着相机位于世界坐标系下的原点,并且朝向Z轴的正方向。
定义一个顶点v(x y z w=1)和一个4*4的投影矩阵M=m(i,j),然后我们使用该矩阵M对顶点v进行转换,转换后的顶点为v'= (x' y' z' w'),可以写成这样:
转换后,viewing frustum实际上就变成了一个与轴平行的盒子,如果顶点 v' 在这个盒子里,那么转换前的顶点 v 就在转换前的viewing frustum里。在OpenGL下,如果下面的几个不等式都成立的话,那么 v' 就在这个盒子里。
-w' < x' < w'
-w' < y' < w'
-w' < z' < w'
可得到如下结论,列在下表里:
我们假设现在想测试 x' 是否在左半边空间,只需判断
-w < x'
用上面的信息,等式我们可以写成:
−(v • row4 ) < (v • row1 )0 < (v • row4 ) + (v • row1 )0 < v • (row4 + row1 )
写到这里,其实已经等于描绘出了转换前的viewing frustum的左裁剪面的平面方程:
x(m41 + m11) + y(m42 + m12) + z(m43 + m13) + w(m44 + m14) = 0
当W = 1,我们可简单成如下形式:
x(m41 + m11) + y(m42 + m12) + z(m43 + m13) + (m44 + m14) = 0
这就给出了一个基本平面方程:
ax + by + cz + d = 0
其中,a = ( m41 + m11) , b = ( m42 + m12 ), c = ( m43 + m13) , d = ( m44 + m14 )
到这里左裁剪面就得到了。重复以上几步,可推导出到其他的几个裁剪面,具体见参考文献1.
需要注意的是:最终得到的平面方程都是没有单位化的(平面的法向量不是单位向量),并且法向量指向空间的内部。这就是说,如果要判断 v 在空间内部,那么6个面必须都满足ax + by + cz + d > 0
到目前为止,我们都是假设世界矩阵( world )和观察矩阵( view )都是单位化了的矩阵。但是,本算法并不想受这种条件的限制,而是希望可以在任何条件下都能使用。实际上,这也并不复杂,并且简单得令人难以置信。如果你 仔细想一下就会立刻明白了,所以我们不再对此进行详细解释了,下面给出3个结论:
- 1. 如果矩阵 M 等于投影矩阵 P ( M = P ),那么算法给出的裁剪面是在相机空间(camera space)
- 2. 如果矩阵 M 等于观察矩阵 V 和投影矩阵 P 的组合( M = V * P ),那么算法给出的裁剪面是在世界空间(world space)
- 3. 如果矩阵 M 等于世界矩阵 W,观察矩阵 V 和投影矩阵 P 的组合( M = W* V * P ),呢么算法给出的裁剪面是在物体空间(object space)
判断节点是否在视锥内
通过各种包围体方法求出近似包围体,对包围体上的各个点对视锥六个面作判断,存在以下三种情况:
- 如果所有顶点都在视锥范围内,则待判区域一定在视锥范围内;
- 如果只有部分顶点在视锥范围内,则待判区域与视锥体相交,我们同样视为可见;
- 如果所有顶点都不在视锥范围内,那么待判区域很可能不可见了,但有一种情况例外,就是视锥体在长方体以内,这种情况我们要加以区分。
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