【职业规划】八皇后问题

- 八皇后问题

是回溯算法的典型例题。

该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：
在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击。

    即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

正确的结果应该是： 92种。

第1次考虑把皇后放在第1行的某个位置。

第2次放的时候就不用去放在第一行了，因为这样放皇后间是可以互相攻击的。

第2次就考虑把皇后放在第2行的某个位置，第3次考虑把皇后放在第3行的某个位置，这样依次去递归。

每计算1行，递归一次，每次递归里面考虑8列，即对每一行皇后有8个可能的位置可以放。

找到一个与前面行的皇后都不会互相攻击的位置，然后再递归进入下一行。

找到一组可行解即可输出，然后程序回溯去找下一组可靠解。

我们用一个一维数组来表示相应行对应的列，比如：

c[i]=j//表示， 第i行的皇后放在第j列

一共有8列，所以我们要让c[r]依次取第0列，第1列，第2列……

一直到第7列，每取一次我们就去考虑，皇后放的位置会不会和前面已经放了的皇后有冲突。

怎样是有冲突呢？同行，同列，对角线。

由于已经不会同行了，所以不用考虑这一点。

同列：

c[r]==c[j];

同对角线有两种可能，即主对角线方向和副对角线方向。

主对角线方向满足，行之差等于列之差：

r-j==c[r]-c[j];

副对角线方向满足，行之差等于列之差的相反数：

r-j==c[j]-c[r]；

只有满足了当前皇后和前面所有的皇后都不会互相攻击的时候，才能进入下一级递归。

C语言实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>int count = 0;int notDanger( int row, int j, int (*chess)[8] )
{int i, k, flag1=0, flag2=0, flag3=0, flag4=0, flag5=0;// 判断列方向for( i=0; i < 8; i++ ){if( *(*(chess+i)+j) != 0 ){flag1 = 1;break;}}// 判断左上方for( i=row, k=j; i>=0 && k>=0; i--, k-- ){if( *(*(chess+i)+k) != 0 ){flag2 = 1;break;}}// 判断右下方for( i=row, k=j; i<8 && k<8; i++, k++ ){if( *(*(chess+i)+k) != 0 ){flag3 = 1;break;}}// 判断右上方for( i=row, k=j; i>=0 && k<8; i--, k++ ){if( *(*(chess+i)+k) != 0 ){flag4 = 1;break;}}// 判断左下方for( i=row, k=j; i<8 && k>=0; i++, k-- ){if( *(*(chess+i)+k) != 0 ){flag5 = 1;break;}}if( flag1 || flag2 || flag3 || flag4 || flag5 ){return 0;}else{return 1;}
}// 参数row: 表示起始行
// 参数n: 表示列数
// 参数(*chess)[8]: 表示指向棋盘每一行的指针
void EightQueen( int row, int n, int (*chess)[8] )
{int chess2[8][8], i, j;for( i=0; i < 8; i++ ){for( j=0; j < 8; j++ ){chess2[i][j] = chess[i][j];}}if( 8 == row ){printf("第 %d 种\n", count+1);for( i=0; i < 8; i++ ){for( j=0; j < 8; j++ ){printf("%d ", *(*(chess2+i)+j));}printf("\n");}printf("\n");count++;}else{for( j=0; j < n; j++ ){if( notDanger( row, j, chess ) ) // 判断是否危险{for( i=0; i < 8; i++ ){*(*(chess2+row)+i) = 0;}*(*(chess2+row)+j) = 1;EightQueen( row+1, n, chess2 );}}}
}int main()
{int chess[8][8], i, j;for( i=0; i < 8; i++ ){for( j=0; j < 8; j++ ){chess[i][j] = 0;}}EightQueen( 0, 8, chess );printf("总共有 %d 种解决方法!\n\n", count);return 0;
}

python实现

def lie(x):x.sort()if x == [i for i in range(8)]:return Trueelse:return Falsedef duijiao(x):for i in range(8):for j in range(i+1,8):if abs(x[i][0]-x[j][0]) == abs(x[i][1]-x[j][1]):return Falseelse:return Truetime = 0
for a1 in range(8):for a2 in range(8):for a3 in range(8):for a4 in range(8):for a5 in range(8):for a6 in range(8):for a7 in range(8):for a8 in range(8):list1 = [a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8]list2 = list(enumerate(list1))if lie(list1) and duijiao(list2):qipan = [[0 for i in range(8)] for j in range(8)]for each in list2:qipan[each[0]][each[1]]=1for each in qipan:print(each)print('\n')time += 1
print('共有解 %d 个' % time)