平面图形原理总结（1）：直线相交

前言

在平面几何中通常我们判断或求直线的相交方法是：用两直线的表达方程，判断其斜率或求二元方法解；但是这种方法经常要考虑很多特殊情况，例如：与坐标轴X平行时（斜率 k = 0 k=0 k=0），与坐标轴Y平行时（斜率 k = ∞ k=\infty k=∞）等等；这些代数几何的方法处理起来都比较琐碎，不好统一解法，因此应当考虑图形学的处理方法来解决，用向量处理解决，这样就无需考虑斜率等问题，会更加便利。具体原理可以查看参考文献，以下为本人对原理的总结。

参考文献:《计算机图形学——用OpenGL实现(第2版)》清华大学出版社

平面直线的相交

平面直线的表达方式
两点A( a x , a y a_{x},a_{y} ax,ay),B( b x , b y b_{x},b_{y} bx,by)在直线L上，
向量 a ⃗ = B − A = B A → \vec a = B - A = \overrightarrow {BA} a =B−A=BA ,
则直线方程 L ( t ) L(t) L(t)为: L ( t ) = A + a ⃗ t L(t) = A + \vec a t L(t)=A+a t
直线的法向量(垂直于直线的向量或称为与直线正交的向量)为: n ⃗ \vec n n ;
设点R为直线上任意位置一点，则有直线L的点-法向量形式为:
n ⃗ ⋅ ( R − A ) = 0 \vec n \cdot(R - A) = 0 n ⋅(R−A)=0
另外，向量 a ⃗ ⊥ \vec a^\perp a ⊥表示为向量 a ⃗ \vec a a 的逆时针正交向量， a ⃗ ⊥ = ( − a y , a x ) \vec a^\perp = (-a_y,a_x) a ⊥=(−ay,ax)
平面直线的相交
假定点A,B确定一直线，点C,D确定一直线，
那么向量 a ⃗ = B − A \vec a = B- A a =B−A，向量 c ⃗ = D − C \vec c = D - C c =D−C，
则直线AB为: A B ( t ) = A + a ⃗ t AB(t) = A + \vec a t AB(t)=A+a t
则直线CD为: C D ( u ) = C + c ⃗ u CD(u) = C + \vec c u CD(u)=C+c u
求直线相交点，即存在 A B ( t ) = C D ( u ) AB(t) = CD(u) AB(t)=CD(u)
则: A + a ⃗ t = C + c ⃗ u A+\vec a t = C + \vec c u A+a t=C+c u
令向量 b ⃗ = C − A \vec b = C - A b =C−A，那么化简可得 a ⃗ t = b ⃗ + c ⃗ u \vec a t = \vec b + \vec c u a t=b +c u
因为 c ⃗ ⊥ ⋅ c ⃗ = 0 \vec c^\perp \cdot \vec c = 0 c ⊥⋅c =0，消除未知变量u对等式的影响，则等式两边同时点乘以 c ⃗ ⊥ \vec c^\perp c ⊥，那么有上式可得 t = c ⃗ ⊥ ⋅ b ⃗ c ⃗ ⊥ ⋅ a ⃗ t = \frac {\vec c^\perp \cdot \vec b} {\vec c^\perp \cdot \vec a } t=c ⊥⋅a c ⊥⋅b
其中，当 c ⃗ ⊥ ⋅ a ⃗ = 0 \vec c^\perp \cdot \vec a = 0 c ⊥⋅a =0时，两直线平行
同理，亦可消除t对等式的影响，得到 u = a ⃗ ⊥ ⋅ b ⃗ c ⃗ ⊥ ⋅ a ⃗ u = \frac {\vec a^\perp \cdot \vec b} {\vec c^\perp \cdot \vec a} u=c ⊥⋅a a ⊥⋅b
带入直线方程可得交点I: I = A + ( c ⃗ ⊥ ⋅ b ⃗ c ⃗ ⊥ ⋅ a ⃗ ) a ⃗ I = A + ( \frac {\vec c^\perp \cdot \vec b} {\vec c^\perp \cdot \vec a } )\vec a I=A+(c ⊥⋅a c ⊥⋅b )a
或者 I = C + ( a ⃗ ⊥ ⋅ b ⃗ c ⃗ ⊥ ⋅ a ⃗ ) c ⃗ I = C + (\frac {\vec a^\perp \cdot \vec b} {\vec c^\perp \cdot \vec a}) \vec c I=C+(c ⊥⋅a a ⊥⋅b )c

平面线段的相交

根据上述平面直线相交方程 A B ( t ) = A + a ⃗ t AB(t) = A + \vec a t AB(t)=A+a t可得，当 t = 0 t=0 t=0时， A B ( t ) = A AB(t) = A AB(t)=A；当 t = 1 t=1 t=1时， A B ( t ) = B AB(t) = B AB(t)=B；
即当点在线段AB上时， 0 ≤ t ≤ 1 0 \le t \le 1 0≤t≤1
同理可得，当点在线段CD上时， 0 ≤ u ≤ 1 0 \le u \le 1 0≤u≤1
由此可判断两线段是否相交，或直线与线段是否相交，以及线段的重合等其他问题

补充：两直线相交的另外一种解法
直线 L 1 L_1 L1使用方程 L 1 ( t ) = A + a ⃗ t L_1(t)= A + \vec a t L1(t)=A+a t，A为直线 L 1 L_1 L1上已知一点，向量 a ⃗ \vec a a 为直线 L 1 L_1 L1对应的向量；
直线 L 2 L_2 L2使用方程 n ⃗ ⋅ ( P − B ) = 0 \vec n \cdot (P - B) = 0 n ⋅(P−B)=0，B为直线 L 2 L_2 L2上已知一点，向量 n ⃗ \vec n n 为直线 L 2 L_2 L2的法向量，P为待求点；
直线 L 1 L_1 L1与 L 2 L_2 L2带入方程得： n ⃗ ⋅ ( A + a ⃗ t − B ) = 0 \vec n \cdot (A+\vec a t - B) = 0 n ⋅(A+a t−B)=0
化简为 n ⃗ ⋅ ( A − B ) + n ⃗ ⋅ a ⃗ t = 0 \vec n \cdot (A - B) + \vec n \cdot \vec a t = 0 n ⋅(A−B)+n ⋅a t=0
解得 t = n ⃗ ⋅ ( B − A ) n ⃗ ⋅ a ⃗ t = \frac {\vec n \cdot (B - A)} {\vec n \cdot \vec a} t=n ⋅a n ⋅(B−A)