2021 ICPC 沈阳赛区J题 Luggage Lock

题意

有TTT组样例，其中每组样例为：
给定一个密码为b0b1b2b3b_0b_1b_2b_3b0b1b2b3的密码锁，已知当前密码锁的状态为a0a1a2a3a_0a_1a_2a_3a0a1a2a3，求解开密码的最小步数。
b,a∈[0,9]b,a\in [0,9]b,a∈[0,9]。

每一步可以操作任意一个连续的区间[l,r][l,r][l,r]，使得这个区间的数字都向上拨动一位或者向下拨动一位。
∀l≤i≤rai=(ai±1)mod10\forall_{l\le i\le r} a_i=(a_i\pm 1)\mod10 ∀l≤i≤rai=(ai±1)mod10

思路

首先考虑暴力的做法，从a0a1a2a3a_0a_1a_2a_3a0a1a2a3开始进行BFS，直到走到b0b1b2b3b_0b_1b_2b_3b0b1b2b3时跳出。
转移时采用记忆化，总共的状态数为10410^4104，即每次求出一组样例最坏的复杂度为10410^4104。
而T≤105T\le 10^5T≤105，所以复杂度为10910^9109，很明显没法通过。

再考虑预处理，预处理出每一种状态a0a1a2a3a_0a_1a_2a_3a0a1a2a3转移到其他所有状态的最小步数。
这个复杂度是10810^8108，常数小的或许可以通过这道题。（我没有尝试）

我可以先预处理出0000到其他所有状态的最小步数，对于每个样例a0a1a2a3⇒b0b1b2b3a_0a_1a_2a_3\Rightarrow b_0b_1b_2b_3a0a1a2a3⇒b0b1b2b3来说，我可以将a0a1a2a3a_0a_1a_2a_3a0a1a2a3当成000000000000并对b0b1b2b3b_0b_1b_2b_3b0b1b2b3做偏移处理，即可得到答案。
例如：1234⇒23441234 \Rightarrow 23441234⇒2344相当于0000⇒11100000\Rightarrow 11100000⇒1110。

这个偏移的思想和一个前缀和的题很像，可以先把牛牛的猜球游戏补了。

AC的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define si pair<string, int>
#define fi first
#define se secondint vis[10][10][10][10];
int val[10][10][10][10];void init() {queue<si> q;q.push({"0000", 0});vis[0][0][0][0] = 1;val[0][0][0][0] = 0;int res = 0;while (!q.empty()) {si cur = q.front();q.pop();val[cur.fi[0] - '0'][cur.fi[1] - '0'][cur.fi[2] - '0'][cur.fi[3] - '0'] = cur.se;// 一个位置+1for (int i = 0; i < 4; i++) {string tmp = cur.fi;if (tmp[i] == '9')tmp[i] = '0';elsetmp[i]++;if (vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'])continue;vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'] = 1;q.push({tmp, cur.se + 1});}// 一个位置-1for (int i = 0; i < 4; i++) {string tmp = cur.fi;if (tmp[i] == '0')tmp[i] = '9';elsetmp[i]--;if (vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'])continue;vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'] = 1;q.push({tmp, cur.se + 1});}// 两个位置+1for (int i = 0; i < 3; i++) {string tmp = cur.fi;if (tmp[i] == '9')tmp[i] = '0';elsetmp[i]++;if (tmp[i + 1] == '9')tmp[i + 1] = '0';elsetmp[i + 1]++;if (vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'])continue;vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'] = 1;q.push({tmp, cur.se + 1});}// 两个位置-1for (int i = 0; i < 3; i++) {string tmp = cur.fi;if (tmp[i] == '0')tmp[i] = '9';elsetmp[i]--;if (tmp[i + 1] == '0')tmp[i + 1] = '9';elsetmp[i + 1]--;if (vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'])continue;vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'] = 1;q.push({tmp, cur.se + 1});}// 三个位置+1for (int i = 0; i < 2; i++) {string tmp = cur.fi;if (tmp[i] == '9')tmp[i] = '0';elsetmp[i]++;if (tmp[i + 1] == '9')tmp[i + 1] = '0';elsetmp[i + 1]++;if (tmp[i + 2] == '9')tmp[i + 2] = '0';elsetmp[i + 2]++;if (vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'])continue;vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'] = 1;q.push({tmp, cur.se + 1});}// 三个位置-1for (int i = 0; i < 2; i++) {string tmp = cur.fi;if (tmp[i] == '0')tmp[i] = '9';elsetmp[i]--;if (tmp[i + 1] == '0')tmp[i + 1] = '9';elsetmp[i + 1]--;if (tmp[i + 2] == '0')tmp[i + 2] = '9';elsetmp[i + 2]--;if (vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'])continue;vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'] = 1;q.push({tmp, cur.se + 1});}// 四个位置+1for (int i = 0; i < 1; i++) {string tmp = cur.fi;if (tmp[i] == '9')tmp[i] = '0';elsetmp[i]++;if (tmp[i + 1] == '9')tmp[i + 1] = '0';elsetmp[i + 1]++;if (tmp[i + 2] == '9')tmp[i + 2] = '0';elsetmp[i + 2]++;if (tmp[i + 3] == '9')tmp[i + 3] = '0';elsetmp[i + 3]++;if (vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'])continue;vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'] = 1;q.push({tmp, cur.se + 1});}// 四个位置-1for (int i = 0; i < 1; i++) {string tmp = cur.fi;if (tmp[i] == '0')tmp[i] = '9';elsetmp[i]--;if (tmp[i + 1] == '0')tmp[i + 1] = '9';elsetmp[i + 1]--;if (tmp[i + 2] == '0')tmp[i + 2] = '9';elsetmp[i + 2]--;if (tmp[i + 3] == '0')tmp[i + 3] = '9';elsetmp[i + 3]--;if (vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'])continue;vis[tmp[0] - '0'][tmp[1] - '0'][tmp[2] - '0'][tmp[3] - '0'] = 1;q.push({tmp, cur.se + 1});}}
}int main() {init();int T;cin >> T;while (T--) {string s, t;cin >> s >> t;t[0] -= s[0] - '0' - 10;t[1] -= s[1] - '0' - 10;t[2] -= s[2] - '0' - 10;t[3] -= s[3] - '0' - 10;if (t[0] > '9') t[0] -= 10;if (t[1] > '9') t[1] -= 10;if (t[2] > '9') t[2] -= 10;if (t[3] > '9') t[3] -= 10;int res = val[t[0] - '0'][t[1] - '0'][t[2] - '0'][t[3] - '0'];cout << res << "\n";}return 0;
}