RSA模幂运算

1. 实验内容

按照平方乘算法和模重复平方法，分别计算a^m mod n

2. RSA介绍

RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。1987年7月首次在美国公布，当时他们三人都在麻省理工学院工作实习。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

RSA是目前最有影响力和最常用的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。

今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。但在分布式计算和量子计算机理论日趋成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑战和质疑。

RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

3. 模幂运算

模指数运算的快速算法

例如求x¹⁶，直接计算的话需做15次乘法。然而如果重复对每个部分结果做平方运算即求x，x²，x⁴，x⁸，x¹⁶则只需4次乘法。

RSA算法模幂运算

求am可如下进行，其中a，m是正整数：
将m表示为二进制形式b_k b_k-1…b₀，即
m=b_k2^k+b_k-12^k-1+…+b₁2+b₀
因此b_k=0 而 b_k-i=1或者b_k-i=0

a^m=a^b₀·(a²)^b₁·(a⁴)^b₂···(a^{2^k-1})^b_k-1·(a^{2^k})^b_k

RSA算法模幂运算

将m表示为二进制形式b_k b_k-1…b₀，即
m=b_k2^k+b_k-12^k-1+…+b₁2+b₀
因此b_k=0 而 b_k-1=1或者b_k-i=0

a^m=((···(((a^b_k)²·a^b_k-1)²·a^b_k-2)²···a^b₁)²·a^b₀)

4. RSA算法

例：求a¹⁹
19=1×2⁴+0×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰
所以
a¹⁹=((((a¹)²a⁰)²a⁰)²a¹)²a¹

5. 代码实现

#include <stdio.h>int main()
{int a, m, n, a1, m1, n1, a2, m2, n2;int i, j, cnt, quotient, tmp, s1 = 1, s2 = 1;int mm[20];printf("请输入数字(a, m, n):");scanf("%d%d%d", &a, &m, &n);a1 = a2 = a;m1 = m2 = m;n1 = n2 = n;quotient = m1;for (i = 0; quotient != 0; i++){mm[i] = quotient % 2;quotient = quotient / 2;}j = i;printf("模重复平方根算法：\n");for (i = 0; i < j; i++){if (mm[i] == 1){s1 = (s1 * a1) % n1;}a1 = (a1 * a1) % n1;printf("i = %d, s = %d, a = %d\n", mm[i], s1, a1);}printf("最终结果为：s = %d\n\n\n", s1);for (i = 0; i < j / 2 ; i++){tmp = mm[i];mm[i] = mm[j-i-1];mm[j-i-1] = tmp;}cnt = j;printf("平方乘算法：\n");for (i = 0; i < j; i++){s2 = (s2 * s2) % n2;printf("%d, ",s2);if (mm[i] == 1){s2 = (s2 * a) % n2;}printf("i = %d, b%d = %d, s = %d\n", cnt-1, cnt-1, mm[i], s2);cnt--;}printf("最终结果为：s = %d\n", s2);return 0;
}

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