遇到这种问题, 首先先不要尝试思考具体的方式, 先用算法找上下限, 接下来不断通过验证和分析去缩短已经确定的上下限(因为你的上下限计算方式可能不对).

这里先给一个简单的题: 4个矿泉水瓶可以换一瓶矿泉水,现有15个矿泉水空瓶,不交钱最多喝多少矿泉水

碰到这种题, 先不要思考具体方式, 先用算法找下限

因为: 4个瓶子 = 一瓶矿泉水 = 1个瓶子 + 水(一瓶),
所以: 水(一瓶) = 3个空瓶
之后很容易得出下限是 15/3 = 5
之后发现确实能达到这个下限, 所以答案是5.

第一题: 64匹马，8赛道，找出跑得最快的4匹马，至少比赛9场

1. 试图找最低次数

假如 A>B, B>C, 我们称之为两对关系, 通过这两对关系, 我们就可以确定 A>C, 我们很容易得出想要确定 A,B,C 三者的关系, 至少需要确定它们两对关系.

64 匹马, 确定它们所有马之间的顺序, 至少需要多少对关系呢?

答案是 63 对关系, 它们的顺序是一条长链, 很容易想象.
8个赛道一次最多只能给它们 7对关系.
所以最少需要比赛 63 / 7 = 9(次).

因此, 至少 9 次比赛, 就可以确定出它们所有马之间的顺序关系.

2. 确定是否能够达到下限

实际上这个很容易想,

先分8组赛8次, 决出8对的顺序, 每组淘汰掉后四名.
从8组中挑一组, 称为第 X 组, 第 X 组的最后一名X4和剩余7组的第一名进行比赛

之后根据它们的比赛结果判断需要比赛几次

假设 A1-G1 比赛结果是 A1>B1>C1>D1>E1>F1>G1

9次情况：如果X4第一名, 那么就立刻确定出 X1, X2, X3, X4 是最快的四匹马. 此时共赛了 9 次.
10次情况：如果X4第二名, 如下图，比A1高的只能是 X1, X2, X3，所以A1最差也能得第四，所以A1必定在最快的四匹马之中。X4前面有X1, X2, X3, 再加上个A1，因此 X4 最高得第5名， X4 以及它后面的马直接淘汰，剩余最快的三匹马只可能在 X1, X2, X3， A2,A3,A4 中产生，因此再加赛一次，就可以决出前4名。此时共赛了 10 次.
11次情况：如果X4第三名，第四名，以及第四名之后，那么情况如下面图片所示，图中被红框框中的是需要再次比赛的马，被马赛克模糊的是被淘汰的马, 从图中可见，需要再次比赛的马在 9~12匹之间, 均需要赛两次才能决出另外最快的三匹马. 此时共需要赛11次

X4第3名:

X4第4名:

X4第4名之后:

第二题: 思考, 64 匹马，8赛道，至少比赛几场, 一定能找出跑得最快的 4 匹马，

先附一个我之前的论述

先分 8 组赛 8 次, 每组淘汰掉后四名

第9次由每组第一名进行一次比赛，然后淘汰最后四名所在组的所有马

此时第一名已经产生, 2,3,4 名只能在 A2,A3,A4,B1,B2,B3,C1,C2,D1 9 匹马中产生.

第10次比赛由A4, 和B2比

如果A4赢了B2, 那么A1-A4就是前四名, 此时需要10场.

如果A4输了B2, A4淘汰, 剩余8匹马再赛一次决出前4名, 此时需要11场.

但是 11 这个答案能不呢再降一下呢?
上图里面的7个红色箭头, 代表7个关系, 实际上在前9次比赛中就已经获得这7个关系了,
9匹马, 8个赛道, 赛两次, 有一次非常浪费赛道的价值,

上面的论证表明 11 场比赛一定能够找出跑得最快的 4 匹马.

那么这道题的答案是11吗?

老实说, 这道题的答案我不确定, 最终结果未必是11次! 但我知道这道题的答案, 要么是10, 要么是11.

依照第一题的分析, 要想把64匹马全部关联起来, 至少需要63个关系, 一次赛马能给7个关系, 所以下限是9次, 也就是说, 答案必定大于等于 9
然而9次比赛的情况只是将它们关联起来, 要想确定找出前4匹马, 9次肯定不够, 因此很容易判断, 下限是10, 也就是说, 答案必定大于等于 10
接下来试图找10次能够一定能够找出前4匹马的方法, 结果并没有找到, 找到的是 11次, 所以上限是 11, 也就是说, 答案必定在 [10, 11] 中.
接下来需要做的是
- 证明10次比赛不能绝对找出最快的4匹马: 如果成功, 则答案是11
- 找出10次能够一定能够找出前4匹马的方法: 如果成功, 则答案是10

奈何本人智商不够, 捣鼓了好久, 一个都没有找出来.

如果大家有10次就能确定找出最快4匹马的方法, 欢迎进行交流回复.

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