用matlab求解线性方程组

对方程组Ax=b

1 rank(A)=rank(A,b)=n时,无论m=n还是m>n 有唯一解
m=n时，即方程个数等于未知数个数

A=[1 -1 1 -2;2 0 -1 4;3 2 1 0;-1 2 -1 2];
b=[2 4 -1 -4]’;
B=[A,b];
RA=rank(A)
RB=rank(B)
此时RA=RB=4
则X=A\b或X=inv(A)*b(对于本题计算结果是一样的，不过inv要求矩阵为方阵，此外左除的计算速度会快一点）

m>n时，即方程个数大于未知数个数

A=[6 2 3 4 5;2 -3 7 10 13;3 5 11 -16 21;2 -7 7 7 2;7 3 -5 3 10;13 5 -2 7 15];
b=[80 59 90 22 85 165]’;
r=rank(A)；r1=rank([A,b])
此时r=r1 则X=A\b（此时不可以再用X=inv(A)*b，若用，matlab会提示错误：A不为方阵）

2 rank(A)=rank(A,B)<n时有无穷多解

方法一

(1)、先求通解，null（A）可以解的AX=0的X的值，即X=null(A).
(2)、求解特解，pinv(A)*B=特解。
方法二：
令C=[A,B],则利用函数rref©，可以求得C的行阶梯形矩阵。
注意：仅用rref的话，方程有非零解，求得C的行阶梯形矩阵。需要自己再去做，因此不必用rref，MATLAB提供了一个求矩阵令空间的函数null来方便求解

A=[1 -1 -1 2;2 -2 1 -5;1 -1 2 -7];
b=[2 1 -1]’;
r=rank(A)；r1=rank([A,b])
2<n=3
X0=A\b %特解
B=null(A,‘r’) %齐次通解

B中的第一列b1，是第二列是b2，通解为X=X0+c1b1+c2b2，其中c1，c2是任意常数

3 rank(A)不等于rank(A,B)时无解

此时，x=pinv(A)*B为其最小二乘解

个人理解，如有不对请指正
参考：
https://blog.csdn.net/u014147522/article/details/79109984
https://jingyan.baidu.com/article/ce09321b96d2212bff858fad.html
https://www.cnblogs.com/fangxiaoqi/p/10739714.html

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