matlab多项式及其运算

0 创建多项式

多项式的一般形式如下：

$f(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + ... + a_{n-1}x + a_{n}$

我们可以使用它的系数向量来表示， $P = [a_{0}, a_{1}, ... , a_{n-1}, a_{n}]$

matlab中，提供了poly2sym函数实现多项式的构造。

r = poly2sym(c)：c为多项式的系数向量
r = poly2sym(c, v)：c为多项式的系数向量，v为其变量

>> poly2sym([1 3 2])ans =x^2 + 3*x + 2>> poly2sym(sym([1 0 1 -1 2]),sym('y'))ans =y^4 + y^2 - y + 2

1.多项式的求根

多项式的根：

matlab使用roots函数求解多项式的根，即求解函数等于0的根

r = roots(c)：其中c为多项式的系数向量，r为求解多项式的根

>> p = [1 -12 0 25 116];
>> r = roots(p);
>> pp =1   -12     0    25   116>> rr =11.7473 + 0.0000i2.7028 + 0.0000i-1.2251 + 1.4672i-1.2251 - 1.4672i

由根创建多项式：

matlab中规定，多项式是行向量，根是列向量。给出一个多项式的根，也可以构造相应的多项式。

p = poly(A)：如果A为方阵，则多项式p为该方阵的特征多项式；如果A为向量，则A的元素为该多项式p的根。n阶方阵的特征多项式存放在行向量中，并且特征多项式最高次的系数一定为1

>> pp = poly(r)pp =1.0000  -12.0000   -0.0000   25.0000  116.0000

2.多项式的四则运算

多项式的加法：

如果两个多项式向量大小相同，相加时就与标准的数组加法相同

>> p1 = [5 40 6 21 9 3];
>> p2 = [4 0 3 72 1 8];
>> p3 = p1 + p2p3 =9    40     9    93    10    11>> r1 = poly2str(p3,'x')   % 显示多项式r1 =9 x^5 + 40 x^4 + 9 x^3 + 93 x^2 + 10 x + 11>> p4 = p1 - p2p4 =1    40     3   -51     8    -5>> r2 = poly2str(p4,'x')   % 显示多项式r2 =x^5 + 40 x^4 + 3 x^3 - 51 x^2 + 8 x - 5

注意：当两个多项式阶次不同时，低阶的多项式用首0填补，使其与高阶多项式有同样的阶次。要求首零而不是尾0，是因为相关的系数像x幂一样，必须整齐

多项式的乘法：

conv函数实现多项式的乘运算，deconv函数实现多项式的除运算

c = conv(a,b)：执行a，b两个向量的卷积运算
c = conv(a,b,'shape')：按形参‘shape’返回卷积运算，shape取值如下：
- full：为返回完整的卷积，是默认值
- same：为返回部分卷积，其大小与向量a大小相同
- valid：只返回无填充0部分的卷积，此时输出向量c的最大值为max(length(a) - max(0,length(b) - 1),0).

>> f = [1 4 -2 7 11];
>> g = [9 -11 5 0 8];
>> c = conv(f,g)c =9    25   -57   105    20   -54    39    56    88

注意：conv函数只能进行两个多项式的乘法，两个以上的多项式的乘法需要重复使用conv

[q,r] = deconv(v,u)：求多项式v, u的除法运算，其中q为返回多项式v除以u的商式，r为返回v除以u的余式。

>> c = [1 5 15 35 69 100 118 110 72];
>> b = [1 2 3 6 8];
>> [a,r] = deconv(c,b)a =1     3     6     8     9r =0     0     0     0     0    -2    -5    -8     0

3.多项式的导数

k = polyder(p)：求多项式的导函数多项式
k = polyder(a,b)：求多项式a与多项式b乘积的导函数多项式
[q,d] = polyder(b,a)：求多项式b与多项式a相除的导函数，导函数的分子存入q，分母存入d

>> a = [3 6 9];
>> b = [1 2 0];
>> k = polyder(a,b)k =12    36    42    18>> K = poly2str(k,'x')K =12 x^3 + 36 x^2 + 42 x + 18
>> [q,d] = polyder(b,a)q =18    18d =9    36    90   108    81

4.多项式的积分

polyint(p,k)：返回以向量p为系数的多项式积分，积分的常数项为k
polyint(p)：返回以向量p为系数多项式的积分，积分的常数项为默认值0

>> p = [1 -1 2];
>> k = 1/2;
>> F = polyint(p,k)F =0.3333   -0.5000    2.0000    0.5000>> df = poly2sym(F)df =x^3/3 - x^2/2 + 2*x + 1/2

5.多项式的估值

matlab提供了polyval函数与polyvalm函数用于求多项式p(x)在x=a的取值。输入可以是标量或矩阵

y = polyval(p,x)：p为多项式的系数向量，x为矩阵，它是按数组运算规则来求多项式的值
[y,delta] = polyval(p,x,S)：使用可选的结构数组S产生由polyfit函数输出的估计参数值；delta是预测未来的观测估算的误差标准偏差
y = polyval(p,x,[],mu)或[y,delta] = polyval(p,x,S,mu)：使 $\hat{x} = (x - \mu _{1}) / \mu _{2}$ 替代x， $\mu _{1} = mean(x), \mu _{2} = std(x)$ ，其中心点与坐标值 $mu = [\mu _{1},\mu _{2}]$ 可由polyfit函数计算得出

polyvalm函数的输入参数只能是N阶方阵，这时可以将多项式看作矩阵函数

Y = polyvalm(p,X)：p为多项式的系数向量，X为方阵，其实按矩阵运算规则来求多项式的值。

>> X = pascal(4)X =1     1     1     11     2     3     41     3     6    101     4    10    20>> p = poly(X)p =1.0000  -29.0000   72.0000  -29.0000    1.0000>> P = poly2str(p,'x')P =x^4 - 29 x^3 + 72 x^2 - 29 x + 1>> y = polyval(p,X)y =1.0e+04 *0.0016    0.0016    0.0016    0.00160.0016    0.0015   -0.0140   -0.05630.0016   -0.0140   -0.2549   -1.20890.0016   -0.0563   -1.2089   -4.3779>> y = polyvalm(p,X)y =1.0e-10 *-0.0003   -0.0036   -0.0052   -0.0143-0.0021   -0.0136   -0.0179   -0.0464-0.0059   -0.0330   -0.0400   -0.1047-0.0130   -0.0639   -0.0750   -0.1962

6.有理多项式

matlab中，有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示。对有理多项式进行运算的两个函数是residue和polyder。redidue执行部分分式展开的运算

[r,p,k] = residue(b,a)：b,a分别为分子和分母多项式系数的行向量，r为留数行向量
[b,a] = residue(r,p,k)：p为极点行向量，k为直项行向量

>> b = [5 3 -2 7];
>> a = [-4 0 8 3];
>> [r,p,k] = residue(b,a)r =-1.4167-0.66531.3320p =1.5737-1.1644-0.4093k =-1.2500>> [b,a] = residue(r,p,k)b =-1.2500   -0.7500    0.5000   -1.7500a =1.0000   -0.0000   -2.0000   -0.7500

7.多项式的微分

k = polyder(p)：p,k分别为原多项式及微分多项式的多项式表示
k = polyder(a,b)：求多项式a与多项式b乘积的导函数多项式
[q,b] = polyder(b,a)：求多项式b与多项式a相除的导函数，导函数的分子存入q，分母存入d

>> a = [3 6 9];
>> b = [1 2 0];
>> k = polyder(a,b)k =12    36    42    18>> K = poly2str(k,'x')K =12 x^3 + 36 x^2 + 42 x + 18
>> [q,d] = polyder(b,a)q =18    18d =9    36    90   108    81