图的连通性和连通分量

1、无向图的连通性

运用深度优先搜索或广度优先搜索遍历无向图可以分析图的连通性。可通过额外设置计数器count（初始值0）统计出图的连通分量，每调用一次，计数器count增1。当遍历完无向图时，若count=1，则图连通，若count>1，图非连通，count的值就是该图的连通分量数。

#include <iostream>
using namespace std;
#define INFINITY  65535 /* 表示权值的无穷*/
typedef int EdgeType;//边上的权值类型
typedef int VertexType;//顶点类型
const int MaxSize=100;
int visited[MaxSize];//全局标识数组
//无向图邻接表。边表结点结构
struct EdgeNode
{int adjvex;//邻接点域EdgeNode *next;//指向下一个边结点的指针
};
//无向图邻接表。表头结点结构
struct VexNode
{VertexType vertex;//顶点EdgeNode *firstedge;//边表的头指针
};
//邻接表类
class ALGraph
{public:ALGraph()//无参构造函数{vertexNum=0;edgeNum=0;for(int i=0;i<MaxSize;i++)adjlist[i].firstedge=NULL;}ALGraph(VertexType a[],int n);//有参构造函数void createGraph(int start, int end);//创建图,采取前插法void DFSL(int v);//从v出发深度优先遍历可达顶点递归函数void DFSL1(int v);//从v出发深度优先遍历可达顶点的非递归函数void displayGraph(int nodeNum);//打印void CountComp(ALGraph g);//求连通分量数，判断图的连通性private:VexNode adjlist[MaxSize];//存放顶点表的数组int vertexNum,edgeNum;//图的顶点数和边数
};
//有参构造函数。构造顶点表
ALGraph::ALGraph(VertexType a[],int n)
{vertexNum=n;edgeNum=0;for(int i=0;i<vertexNum;i++){adjlist[i].vertex=a[i];adjlist[i].firstedge=NULL;}
}
//创建图,采取前插法
void ALGraph::createGraph(int start, int end)
{//边(start,end)//adjlist[start].vertex=start;//表头结点中的顶点EdgeNode *p=new EdgeNode;//边结点p->adjvex=end;//邻接点//p->weight=weight;p->next=adjlist[start].firstedge;//前插法插入边结点padjlist[start].firstedge=p;
}
//打印存储的图
void ALGraph::displayGraph(int nodeNum)
{int i,j;EdgeNode *p;for(i=0;i<nodeNum;i++){p=adjlist[i].firstedge;while(p){cout<<'('<<adjlist[i].vertex<<','<<p->adjvex<<')'<<endl;p=p->next;}}
}
//从v出发深度优先遍历可达顶点递归函数
void ALGraph::DFSL(int v)
{int n=vertexNum;int j;EdgeNode *p;if(v>=n||v<0) throw "位置出错";cout<<adjlist[v].vertex<<" ";visited[v]=1;p=adjlist[v].firstedge;while(p){j=p->adjvex;//顶点if(visited[j]==0) DFSL(j);p=p->next;}
}
//从v出发深度优先遍历可达顶点的非递归函数
void ALGraph::DFSL1(int v)
{int S[MaxSize],top=-1,j,n=vertexNum;EdgeNode *p;if(v>=n||v<0) throw "位置出错";cout<<adjlist[v].vertex<<" ";visited[v]=1;S[++top]=v;//v进栈while(top!=-1){v=S[top--];//栈顶元素出栈p=adjlist[v].firstedge;while(p){j=p->adjvex;//顶点if(visited[j]==1) p=p->next;else{cout<<adjlist[j].vertex<<" ";visited[j]=1;S[++top]=j;//v进栈p=adjlist[j].firstedge;}}}
}
//求连通分量数，判断图的连通性
void ALGraph::CountComp(ALGraph g)
{int count=0;int n=g.vertexNum;for(int v=0;v<n;v++){if(visited[v]==0){count++;g.DFSL(v);}}if(count==1) cout<<endl<<"改图是连通的！"<<endl;else cout<<endl<<"改图不连通，连通分量数为："<<count<<endl;
}
int main()
{int a[8]={0,1,2,3,4,5,6,7};ALGraph gr=ALGraph(a,8);//初始化表头gr.createGraph(0,2);gr.createGraph(0,1);gr.createGraph(1,3);gr.createGraph(1,0);gr.createGraph(2,3);gr.createGraph(2,0);gr.createGraph(3,2);gr.createGraph(3,1);gr.createGraph(4,5);gr.createGraph(5,6);gr.createGraph(5,4);gr.createGraph(6,7);gr.createGraph(6,5);gr.createGraph(7,6);gr.displayGraph(8);for(int i=0;i<MaxSize;i++)visited[i]=0;gr.CountComp(gr);return 0;
}

2、有向图的连通性

求有向图的强连通分量，可以使用十字链表存储，利用深度优先非递归搜索遍历。

（1）在有向图G上，按出弧表深度优先非递归搜索遍历有向图G。

从某顶点v出发，沿以v为弧尾的弧进行深度优先非递归遍历，并对深度优先非递归搜索遍历算法修改，使被访问过的顶点（下标）入栈，按顶点（下标）退桟的次序将顶点顺序记录在另一个数组outstack[MaxSize]。若依次不能遍历完图中所有顶点，再任取下一个未被访问过的顶点出发遍历，重复上述，直到图中所有顶点被访问完。outstack设计为全局数组，全部顶点都记录在其中，其中顶点顺序和深度优先遍历顺序相反。

（2）统计连通分量数的计数器count置1。按入弧表对图进行深度优先非递归搜索遍历。取outstack最后的顶点，从该顶点出发，沿着以该顶点为弧头的弧做逆向（按入弧表）深度优先非递归比遍历。若此次不能遍历完图中顶点，则从余下的顶点中最后完成搜索遍历的顶点出发，即outstack中由后往前的未被访问顶点继续做逆向深度优先非递归遍历，直至有向图中所有顶点都被逆向深度优先遍历。每一次做逆向遍历，count增1。每一次逆向遍历所访问到的顶点就是一个强连通分量的顶点集，count是强连通分量数。

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