上一节课，将向量的概念扩展到了矩阵。

一、矩阵空间

矩阵空间是一个子空间吗？是的，数乘和加法等运算后仍然是一个矩阵。所有 3 × 3 3\times3 3×3的矩阵 M M M构成了一个类似于 R 3 R^3 R3的空间，那么这个矩阵空间也将会有子空间，比如：

对称矩阵 S S S
上三角矩阵 U U U

根据定义很容易知道这些矩阵是线性封闭的。

1.1 矩阵的基和维数

一个矩阵是由那些基本的矩阵组成的？

[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] ⋯ [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\cdots\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡100000000⎦ ⎤⎣ ⎡000100000⎦ ⎤⎣ ⎡000000100⎦ ⎤⋯⎣ ⎡000000001⎦ ⎤
上面这些矩阵满足：

线性无关。上述任何一个矩阵都能不能用其他矩阵线性表示，是独一无二的；
能够扩展至整个矩阵空间。

所以上面的九个矩阵是矩阵 3 × 3 3\times3 3×3的矩阵 M M M的一组基，维数是9。

对于 3 × 3 3\times3 3×3的矩阵 S S S，它的一组基为：
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\1&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&1&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡100000000⎦ ⎤⎣ ⎡010100000⎦ ⎤⎣ ⎡000010000⎦ ⎤⎣ ⎡001000100⎦ ⎤⎣ ⎡000001010⎦ ⎤⎣ ⎡000000001⎦ ⎤
一个 3 × 3 3\times3 3×3矩阵 U U U的一组基为：
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡100000000⎦ ⎤⎣ ⎡000100000⎦ ⎤⎣ ⎡000000100⎦ ⎤⎣ ⎡000010000⎦ ⎤⎣ ⎡000000010⎦ ⎤⎣ ⎡000000001⎦ ⎤
3 × 3 3\times3 3×3对角矩阵 D D D的一组基为：
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&1&0 \end{bmatrix} ⎣ ⎡100000000⎦ ⎤⎣ ⎡000010000⎦ ⎤⎣ ⎡000001000⎦ ⎤
注意到 S ∩ U = D S\cap U=D S∩U=D，两个子空间的交集为一个对角矩阵 D D D，维数 d i m ( S ) + d i m ( U ) = d i m ( S ∩ U ) dim(S)+dim(U)=dim(S\cap U) dim(S)+dim(U)=dim(S∩U)；正如我们在向量中不研究并集（ S ∪ U S\cup U S∪U）一样，因为这没有意义，随便选两个向量结果将会超出原来的范围，这不符合子空间的定义；但是我们会定义 S + U S+U S+U集合，他表示 S S S和 U U U的线性组合，这个线性组合恰好能够布满整个矩阵空间。注意到一个有趣的结论：
d i m ( S ) + d i m ( U ) = d i m ( S ∩ U ) + d i m ( S + U ) 6 + 6 = 3 + 9 \begin{aligned} dim(S)+dim(U)&=dim(S\cap U)+dim(S+U)\\ 6+6&=3+9 \end{aligned} dim(S)+dim(U)6+6=dim(S∩U)+dim(S+U)=3+9
两个子空间的维数和等于交集加上其加集维度的和。

1.2 微分方程

在线性代数中的许多概念在数学领域都是通用的，比如说微分方程：
d 2 y d x 2 + y = 0 (1) \frac{d^2y}{dx^2}+y=0\tag{1} dx2d2y+y=0(1)
这个微分方程有两个特解： y 1 = sin ⁡ x y_1=\sin x y1=sinx和 y 2 = cos ⁡ x y_2=\cos x y2=cosx，所有解都是这两个特解的线性组合：
y c o m p l e t e = c 1 cos ⁡ x + c 2 sin ⁡ x (2) y_{complete}=c_1\cos x+c_2\sin x\tag{2} ycomplete=c1cosx+c2sinx(2)
那么这个微分方程的一组基就是 y 1 y_1 y1和 y 2 y_2 y2，线性组合系数为零空间，其特解个数等于2，也就是说他们的解空间维数为。其实举这个例子是为了说明子空间、维数、基这些概念应该有更加广泛的理解，比如这里的基就是一组函数，而不是具体的数字。

二、秩1矩阵

2.1 秩1矩阵是其他矩阵的积木

有 2 × 3 2\times 3 2×3矩阵 A A A：

A = [ 1 4 5 2 8 10 ] A=\begin{bmatrix} 1&4&5\\ 2&8&10 \end{bmatrix} A=[1248510]
其秩为1。这种秩为1的矩阵容易写成行和列的矩阵乘法：
A = [ 1 2 ] [ 1 4 5 ] A=\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&5 \end{bmatrix} A=[12][145]
事实上，所有秩为1的矩阵都可以写成：
A = u v T A=uv^T A=uvT
在之后的学习里，我们会知道这种矩阵的特点：

行列式简单
特征值特点明显（= =完全忘了，学了才知道）

这种秩为1的矩阵就像是积木一样搭建起了所有矩阵，结合一开始矩阵乘法这一节的容易理解。比方说我们有一个 5 × 17 5\times17 5×17的矩阵，秩为4，他就可以用四个秩为1的矩阵表示出来，秩是多少就能用多少秩为1的矩阵搭建。

思考：四个同型的、秩相同的矩阵相加后的矩阵，其秩是否会改变？肯定会，因为你不确定哪个主元被消除了，这也就意味着，这样的（同秩、同型）矩阵集合并不能构成子空间。

三、小世界图

Graph={nodes,edges}

介绍了图的节点和边的概念。

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