动态规划作业最长单调递增子序列

动态规划作业
1.最长单调递增子序列
设计一个 O(n2)时间的算法，找出由 n 个数组成的序列 a 的最长单调递增子序列。

提示：

用数组 b[0:n]纪录以 a[i] (0<= i< n)，为结尾元素的最长递增子序列的
长度。将计算 b[i]转化为 i 个规模更小的子问题。

■ Input

第一行包含一个整数，表示数组 a 的长度。
接下来的一行，包含 n 个数，依次表示 a[i]。

■ Output

输出一行表示对应的答案。
Sample：

■ Sample Input 1

5
2 9 3 7 6

■ Sample Output 1

2 3 6

2.作业要求
采用动态规划编程实现最长单调递增子序列问题，提交作业报告，作业报告
包括：概述解题思路、算法实现。作业报告名为“最长单调递增子序列-班级-学号-姓名”。作业报告包括：

1）概述解题思路
2）源代码，代码的关键步骤加上必要的注释。
3）截屏 Input 及 Output 的测试样例和结果。

1.概述思路
对于最长递增子序列的长度：
（1）用数组 b[0:n]记录以 a[i] (0<= i< n)，为结尾元素的最长递增子序列的长度。
（2）对于序列中第一个数a[0]，显然有b[0]=1，之后可以从左向右按顺序计算a[i]（i=1，2，3，…… ，n）作为结尾元素时，最长递增子序列的长度b[i]。
（3）当计算到 a[i]的最长递增子序列时，需要求得以 a[i]作为结尾元素时的最长递增子序列的长度b[i]。如果，此时最长递增子序列恰以a[i]结尾，那么，在序列a[0:i-1]中所有比a[i]小的数都可以作为递增子序列的倒数第二个数。为确保递增子序列最长，应该选择比a[i]小的数中以该数结尾的递增子序列长度最长的那个数，作为子序列的倒数第二个数，即b[i]=max{b[j]+1}（0≤ j < i且 a[j] < a[i]）;如果序列a[0:i-1]中所有的数均不小于a[i]，则令b[i]=1，即以a[i]为结尾元素时的最长递增子序列只包含a[i]本身。

对于最长递增子序列：
（1）首先遍历数组b[n],找到最大值及其下标k（即位置）。
（2）从a[k]开始，从右向左依次遍历数组a[n]。对于某个下标l（0 ≤ l < k）,如果l满足a[l] < a [k]且b[l] = b[k] - 1，则a[l]可以作为最长递增子序列的倒数第二个数。
（3）从a[l]开始，从右向左依次遍历数组a[n]，按照（2）中的方法找到最长递增子序列的倒数第三个数。
（4）重复上述步骤，直到不存在比当前序列中第一个数更小的数，则最长递增子序列构建完成。

注意：

存在多解的情况，只需要返回其中一种即可。

2.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main(){int n;cin >> n;           //输入数组a的长度nint a[n],b[n];for(int i = 0; i < n; ++i){cin >> a[i];    //依次输入数组a的n个元素}b[0] = 1;          //第一个数的最长递增子序列长度为1，即只有它本身for(int i = 1; i < n; ++i){int max = 0;                   //记录下标小于i的数a[0:i-1]中最长递增子序列的长度for(int j = 0; j < i; ++j){    //遍历查询以a[j](j<i)为结尾元素的最长递增子序列的长度，将最大值赋予maxif(a[j] < a[i]){if(max < b[j]){max = b[j];}}}b[i] = max + 1;     //依次记录最长递增子序列的长度b[i]}int length, l = 0;    //记录最长递增子序列的长度int k = 0;         //记录最长递增子序列中最后一个数在数组a中的下标for(int i = 0; i < n; ++i){if(b[i] > length){length = b[i];k = i;l = length;}}int* LIS = (int*) malloc(sizeof(int) * length);LIS[--length] = a[k];    //初始化最长递增子序列LIS，LIS中的最后一个数是a[k]for(int i = k; i >= 0; i--){if(a[i] < a[k] && b[i] == b[k] - 1){LIS[--length] = a[i];     //逆序将最长递增子序列中的元素依次填入LIS中k = i;}}for(int i = 0; i < l; ++i){cout << LIS[i] << " ";}return 0;
}

3.测试结果

tips：

注意在C++中，允许在初始化数组时，直接使用变量值作为数组长度，此时开辟的数组空间为栈空间（长度为8192），有发生栈溢出的风险。建议使用更加规范的malloc函数开辟动态数组的空间，此时开辟的数组空间为堆空间，可避免溢出隐患。

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