列表函数的最小二乘拟合(matlab)

最小二乘法拟合概述
1. 算法原理

设是定义在点集上的列表函数，构造广义多项式

使得最小，其中为待定参数，是已知的一组基函数，通过求解正规方程组来确定c的方法称为最小二乘拟合。

伪代码

1）给定待拟合量x，y;

2）for i=1,…,n do

for i=1,…,n do

A(i,j)=( x.^(i-1) , x.^(j-1) )

end do

b(i)=(x.^(i-1),y)

end do

3）

程序使用说明

源代码见本文最后章，使用时需要给定待拟合数组横坐标x、纵坐标y、多项式拟合次数加一值n，即可进行计算。

输出结果分为两部分：

最终解部分会在matlab命令行窗口中给出

实际值和拟合值的关系曲线会在figure窗口中给出

具体算例及计算结果
1. 具体算例

给定数据如下表所示，求其最小二乘拟合四次多项式及其误差：

计算结果

可以发现最终的拟合多项式为四次多项式，且误差最大值仅为0.0003相对误差小于0.006%

有实际值与拟合值的对比曲线可以发现，几乎每个实际值都落于拟合值曲线上，且曲线整体平滑，拟合效果较好。

源代码

%%----------------------------%%
%%----列表函数的最小二乘拟合----%%
%%------Acyeah-2021/11/11-----%%
%%------------多项式-----------%%
clear;clc;close all;hold on;
%%输入
x=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ];%拟合点的横坐标
y=[5.1234 5.3057 5.5687 5.9375 6.4370 7.0978 7.9493 9.0253 10.3627 ];%拟合点的纵坐标
n=5;%多项式拟合次数+1
%%初始化
A=zeros(n,n);%正规方程组 Ac=b
b=zeros(n,1);
c=zeros(n,1);
error=zeros(1,length(x));
i=0;%行计数器
j=0;%列计数器
x_plot=( min(x)-((max(x)-min(x))/10) ):((max(x)-min(x))/10/length(x)):max(x)+((max(x)-min(x))/10);%拟合曲线x
y_plot=0;%拟合曲线y
%%计算
for i=1:n
for j=1:n
A(i,j)=dot(x.^(i-1) , x.^(j-1));
end
b(i,1)=dot(x.^(i-1),y);
end
c=inv(A)*b;
%%输出
fprintf('拟合多项式为：\ny = %6.4f ',c(1))%输出多项式
for i=2:n
fprintf('+ %6.4f*x^%2.0f ',c(i),i-1)
end
fprintf('\n\n')

for i=1:n %输出拟合曲线和对应点处误差
y_plot=y_plot+c(i)*x_plot.^(i-1);
error=error+c(i)*x.^(i-1);
end
error=error-y;
errormax=max(abs(error));
fprintf('各点处误差绝对值最大值为：\n = %6.4f \n\n',errormax)
plot(x,y,'r*')
plot(x_plot,y_plot)
legend('实际值','拟合值');

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