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matlab拟合工具箱
最小二乘拟合
- 理论推导
- 用最小二乘法求解线性回归的k,b
- 怎么评价拟合的精度
- 一个例子
- 另一个例子，薄膜渗透率题目，最小二乘拟合溶液浓度变化
多项式拟合
自定义函数拟合
- 自定义函数的三维拟合
人口数据的不同拟合对比

拟合就是想办法得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即
可。

matlab拟合工具箱

或者直接使用matlab的拟合工具箱
写好x, y值

x=1:10;
y=randn(size(x));

打开工具箱

或者在命令行输入cftool也可以弹出拟合工具箱窗口

>> cftool

设置几个参数，结果就有了，太简单啦

左上角文件下面那堆图标允许我们添加图例，网格，绘制残差图，等高线图，删除离群点等，非常棒的图形化功能，不用编代码也能很完美地实现多项式拟合

最下面的表格里，以及左边的results里还给出了一些拟合程度好坏的评价指标：

SSE，误差平方和，The sum of squares due to error，即最小二乘
SSE=∑i=1n(y^i−yi)2SSE=\sum_{i=1}^n(\hat y_i- y_i)^2SSE=i=1∑n(y^i−yi)2
MSE， mean squared error，均方误差，即误差的平方和的均值，就等于SSE除以n，n为数据点个数
RMSE，Root mean squared error，均方根误差，也叫回归系统的拟合标准差，等于MSE开方
R-square，Coefficient of determination，确定系数

SSR: Sum of squares of the regression，即预测数据与原始数据均值之差的平方和
SSR=∑i=1n(y^i−yˉ)2SSR=\sum_{i=1}^n(\hat y_i-\bar y)^2SSR=i=1∑n(y^i−yˉ)2

SST: Total sum of squares，即原始数据和均值之差的平方和
SST=∑i=1n(yi−yˉ)2SST=\sum_{i=1}^n( y_i-\bar y)^2SST=i=1∑n(yi−yˉ)2

SSR+SSE=SSTSSR+SSE=SSTSSR+SSE=SST
“确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。

“确定系数”的正常取值范围为[0 1]，越接近1，表明方程的变量对y的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好

Adjusted R-square：Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination
可以选择各种拟合方式

最小二乘拟合

曲线/函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要做的工作只是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数

理论推导

用最小二乘法求解线性回归的k,b

怎么评价拟合的精度

SSE是我们最容易想到的，每个拟合值和准确值的差值平方和，但是对于线性拟合，还可以引入SSR和SST

SSE当然是越小越好

SST是原值和均值的距离平方和，正比于数据方差，衡量的是原始数据的偏离程度

SSR是拟合值和原始数据均值的距离平方和，衡量拟合数据的偏离程度

所以SSR和SST当忽然是越接近越好

R2R^2R2是负数的例子来了

证明这里写的很清楚

通过上图左下角的一阶条件可以看出，最小二乘法拟合要求原始值和拟合值的差值（残差）总和必须为0。

更多结论

一个例子

clear;clc
load  data1
plot(x,y,'o')
% 给x和y轴加上标签
xlabel('x的值')
ylabel('y的值')
n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
hold on % 继续在之前的图形上来画图形
grid on % 显示网格线% % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)
% % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% x = 0: 0.1 :5  % 间隔设置的越小画出来的图形越准确
% y = k * x + b  % k和b都是已知值
% plot(x,y,'-')f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[min(x)-1,max(x)+1]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')% 匿名函数的基本用法。
% handle = @(arglist) anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
% anonymous_function为匿名函数的表达式。
% 举个小例子
% % >> z=@(x,y) x^2+y^2;
% % >> z(1,2)
% % ans =  5
% fplot函数可用于画出匿名函数的图形。
% fplot(f,xinterval) 将在指定区间绘图。将区间指定为 [xmin xmax] 形式的二元素向量。y_hat = k*x+b; % y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  % 回归平方和
SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
SST-SSE-SSR  % 非常小的数，接近0
R_2 = SSR / SST % 拟合优度

另一个例子，薄膜渗透率题目，最小二乘拟合溶液浓度变化

具体题目见《matlab在数学建模中的应用》，卓金武

其中的微分方程求解过程：

clear all
clc
tdata=linspace(100,1000,10); % 时间，秒
cdata=1e-05.*[454 499 535 565 590 610 626 639 650 659];% 浓度测量值，mg/cm3转化为g/cm3，再去掉小数点
x0=[0.2 0.05 0.08]; % 随便设置最小化问题的三个参数的初始值
x=lsqcurvefit('curvefun',x0,tdata,cdata) % least square ，最小二乘曲线拟合
% 第一个参数是被优化的函数，x0是初始参数，后面是优化依靠的实际数据，返回一组参数使得数据点和函数计算值的误差平方和最小
f=curvefun(x,tdata);
plot(tdata, cdata,'o',tdata,f,'r-')
title('最小二乘拟合B部分的浓度随时间的变化曲线')

% curvefun.m
function f=curvefun(x,t);
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*t); % x(1),x(2),x(3)分别是a,b,k

多项式拟合

x=1:10;
y=randn(size(x));
p=polyfit(x,y,7); % 7阶多项式，返回拟合多项式的降幂系数
x1=0:.1:10;
y_hat=polyval(p,x1);
plot(x1,y_hat,x,y,'r*')

自定义函数拟合

很多专业领域的数据可能已经有比较受学界认可的函数形式，可以通过查阅文献获得，然后用那种函数形式去拟合，能获得更好的拟合优度

比如

syms t
x=[0 0.4 1.2 2 2.8 3.6 4.4 5.2 6 7.2 8 9.2 10.4 11.6 12.4 13.6 14.4 15];
y=[1 0.85 0.29 -0.27 -0.53 -0.4 -.12 .17 .28 .15 -.03 -.15 -.071 .059 .08 .032 -.015 -.02];
x=x';y=y';
% 自定义拟合函数
f=fittype('a * cos(k * t) * exp(w * t)','independent','t','coefficients',{'a','k','w'});
cfun=fit(x,y,f); % 数据必须以列向量形式给出
x1=0:.1:20;
y1=cfun(x1);
plot(x,y,'r*',x1,y1,'b-')

多尝试几次，拟合很好的时候记录下函数的参数们，a, k, w，就是很好的拟合结果

cfun函数还给了每个参数的置信区间！！简直完美

警告: Start point not provided, choosing random start point.
> In curvefit.attention.Warning/throw (line 30)In fit>iFit (line 299)In fit (line 108)In me_test (line 8)
>> cfun
cfun = General model:cfun(t) = a * cos(k * t) * exp(w * t)Coefficients (with 95% confidence bounds):a =      0.9987  (0.9836, 1.014)k =       1.001  (0.9958, 1.006)w =     -0.2066  (-0.2131, -0.2002)

人口预测模型，拟合

clear all
clc
% 人口数据
T=1:30;  % +1970=年份
P=[33815 33981 34004 34165 34212 34327 34344 34458 34498 34476 34483 34488 34513 34497 34511 34520 34507 34509 34521 34513 34515 34517 34519 34519 34521 34521 34523 34525 34525 34527];%人口
%plot(T,P)% 折线
plot(T,P,'r o')% 只画数据点
hold on
% 线性化处理
for t=1:30x(t)=exp(-t);y(t)=1/P(t);
endc=zeros(30,1)+1;
X=[c,x'];
B=inv(X' * X) * X' * y' % 线性回归的回归系数，2行1列，B（1,1）是0次幂系数，B（2,1）是1次幂系数
for i=1:30z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i) ; % 回归拟合值s(i)=y(i)-sum(y)/30 ;  % 离差，每个数据和平均值的距离e(i)=z(i)-y(i);  % 拟合误差
end
SST=s*s' ; % 离差平方和
SSE=e*e' ; % 误差平方和
SSR=SST-SSE;  % 预测数据和原始数据均值的平方和
F=28*SSR/SSE  % F检验值% 计算非线性回归模型的拟合值
for j=1:30Y(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j));
end
% 画出逻辑函数拟合曲线
plot(T,Y,'k ')
title('Logistic模型拟合曲线')

F检验值？？？

也可以用工具箱实现

% a + (b-a) * rand(1,5); 如：
a= 0;
b=10;
x= a + (b-a) * rand(1,5); % 1*5的随机矩阵
e=normrnd(0,1,1,5)
y=3*exp(0.5*x)-5+e;

自定义函数的三维拟合

x=-10:10;
y=-10:10;
z=x.^2+y.^2;
x_=-10:.1:10;
y_=-10:.1:10;

人口数据的不同拟合对比

人口数据

可以看出很像线性函数，所以下面拟合出来的函数长得接近线性函数的的拟合优度都接近于1

指数型
傅里叶函数拟合（三角函数）高斯函数拟合线性插值拟合
最近邻插值拟合

保凹凸性（hermite ）拟合

三次样条插值拟合

一次多项式拟合

幂次拟合

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