一、理论基础

1、基本麻雀搜索算法

请参考这里。

2、螺旋探索与自适应混合变异的麻雀搜索算法

（1）ICMIC混沌初始化种群

混沌变量具有遍历性和规律性，常被应用于优化问题中。Logistic映射和Tent映射是最常用的混沌模型，但是两者在迭代区域内的折叠次数有限，且存在有理数不动点。ICMIC映射是一种映射折叠次数无线的混沌模型，相较于Logistic映射和Tent映射，该映射具有遍历均匀和收敛较快等优点。因此本文采用ICMIC映射初始化SSA种群，ICMIC映射的数学表达式如下：{zn+1=sin⁡(απzn),α∈(0,1)−1≤zn≤1,zn≠0(1)\begin{dcases}z_{n+1}=\sin(\frac{\alpha\pi}{z_n}),\,\,\alpha\in(0,1)\\-1\leq z_{n}\leq1,\,\,z_n\neq0\end{dcases}\tag{1}⎩⎨⎧zn+1=sin(znαπ),α∈(0,1)−1≤zn≤1,zn=0(1)将ICMIC混沌映射到搜索空间中，得到种群初始位置：xi=xlb+(xub−xlb)1+zi2(2)x_i=x_{lb}+(x_{ub}-x_{lb})\frac{1+z_i}{2}\tag{2}xi=xlb+(xub−xlb)21+zi(2)其中，xlbx_{lb}xlb、xubx_{ub}xub分别为每个个体在各维度的上下界，ziz_izi为式(1)产生的混沌序列，本文α=0.7\alpha=0.7α=0.7。
假设种群规模为30，两种方法在二维搜索空间中产生的初始化种群分布图如图1所示，从图中可以看出，相比随机序列，通过ICMIC混沌序列产生的初始种群分布更均匀，遍历性更好。

（a）随机初始化
（b）ICMIC混沌初始化图1 初始化种群分布图

（2）螺旋探索策略

本文在发现者位置更新方式中加入一种螺旋探索因子，使得发现者拥有多种搜索路径来更好的调整自身位置，从而提高算法的全局搜索性能。具备螺旋探索的发现者位置更新公式如下：xidt+1={z⋅xidt⋅exp⁡(−i/αT),R2<STxidt+Q⋅L⋅z,R2≥STx_{id}^{t+1}=\begin{dcases}z\cdot x_{id}^t\cdot\exp(-i/\alpha T),\quad R_2<ST\\x_{id}^t+Q\cdot L\cdot z,\quad\quad\quad\,\,\,\, R_2\geq ST\end{dcases}xidt+1={z⋅xidt⋅exp(−i/αT),R2<STxidt+Q⋅L⋅z,R2≥STz=exp⁡(b×p)⋅cos⁡(2πp)(3)z=\exp(b\times p)\cdot\cos(2\pi p) \tag{3}z=exp(b×p)⋅cos(2πp)(3)其中，zzz为螺旋探索因子，bbb为螺旋形状常数，ppp表示路径系数，为[−1,1][-1,1][−1,1]中的随机数。
融入螺旋探索后，发现者将以螺旋形式在搜索空间中搜索，扩展了发现者探索未知区域的能力，使算法跳出局部最优的可能性增加，有效提高算法的全局搜索性能。

（3）基于精英差分和随机反向的自适应混合变异

为了加快算法收敛速度、改善算法跳出局部最优的能力，本文提出一种自适应混合变异策略，在每次迭代后对最优麻雀进行扰动。
（1）精英差分变异
考虑到精英个体包含更多有益信息，为了加强精英个体间的信息交流，本文提出一种精英差分变异策略，公式如下：xbest′=r1(x2−xbest)+r2(x3−xbest)(4)x_{best}'=r_1(x_2-x_{best})+r_2(x_3-x_{best})\tag{4}xbest′=r1(x2−xbest)+r2(x3−xbest)(4)其中，r1r_1r1、r2r_2r2为(0,1)(0,1)(0,1)的随机数。xbestx_{best}xbest为最优解，x2x_2x2为次优解，x3x_3x3为第三优解。
精英解的引入，使得算法的进化方向更明确，不再具有盲目性。在算法迭代后，通过式(4)产生新解，能够提升算法在当前最优解附近发现全局最优解的可能性。
（2）随机反向学习
本文提出一种新的随机反向学习策略，通过在一般反向学习中引入随机因子，进一步扩展反向解位置，增强算法跳出局部极值的能力。随机反向学习的公式如下：xbest′=k1xlb+k2(xub−xbest)(5)x_{best}'=k_1x_{lb}+k_2(x_{ub}-x_{best})\tag{5}xbest′=k1xlb+k2(xub−xbest)(5)其中，k1k_1k1和k2k_2k2为随机因子，均为(0,1)(0,1)(0,1)之间的随机数。
（3）自适应混合变异
SSA算法求得全局最优解的关键是算法能否有效跳出局部最优。若只是加入单一的变异策略，则在加快收敛速度的同时也会导致算法陷入局部最优。因此，本文将精英差分变异和随机反向学习融入到SSA中，利用判定系数rrr对最优麻雀位置进行混合变异扰动。如公式(6)所示，当r<0.5r<0.5r<0.5时，采用精英差分策略进行小范围扰动；当r≥0.5r\geq0.5r≥0.5时，采用随机反向策略进行大范围扰动。两种策略相辅相成，促使算法跳出局部极值空间，在求解不同优化问题时的适应性更强。xbest′={r1(x2−xbest)+r2(x3−xbest),r<0.5k1xlb+k2(xub−xbest),r≥0.5(6)x_{best}'=\begin{dcases}r_1(x_2-x_{best})+r_2(x_3-x_{best}),\quad r<0.5\\k_1x_{lb}+k_2(x_{ub}-x_{best}),\quad\quad\quad\quad\, r\geq 0.5\end{dcases}\tag{6}xbest′={r1(x2−xbest)+r2(x3−xbest),r<0.5k1xlb+k2(xub−xbest),r≥0.5(6)其中，rrr为0到1的随机数。
由于变异后的麻雀位置不一定由于原始位置，因此，采用贪婪策略，选择是否将原始解用变异解替代，即只有当变异解的适应度值优于原始解时才进行替换，公式如下：x′={xbest′,f(xbest′)<f(xbest)xbest,f(xbest′)≥f(xbest)(7)x'=\begin{dcases}x_{best}',\quad f(x_{best}')<f(x_{best})\\x_{best},\quad f(x_{best}')\geq f(x_{best})\end{dcases}\tag{7}x′={xbest′,f(xbest′)<f(xbest)xbest,f(xbest′)≥f(xbest)(7)其中，x′x'x′为贪婪选择后最优麻雀的位置。

（4）SHSSA算法的伪代码

螺旋探索与自适应混合变异的麻雀搜索算法伪代码如下：

算法1 SHSSA算法
输入：搜索空间和目标函数
输出：最优解
参数初始化(种群规模N, 发现者PD及侦察者SD比例, 侦察预警值ST, 最大迭代次数T等)
根据式(2)生成初始种群
计算初始适应度值, 并排序, 找出当前最优和最劣适应度的麻雀位置
for i = 1:Tfor j = 1:PD*Np = -1 + 2*rand根据式(3)计算发现者位置end forfor j = PD*N+1:N根据基本SSA相应公式计算跟随者位置end for在种群中随机选取SD*N只麻雀作为侦察者for j = 1:SD*N根据基本SSA相应公式计算侦察者位置end for计算每只个体适应度值并排序, 找到当前最优个体和最劣个体根据式(6)计算当前最优个体的变异位置根据式(7)选择是否替换最优麻雀位置
end for

二、仿真实验与结果分析

将SHSSA与SCA、WOA和SSA进行对比，设置每种算法的种群规模为30，最大迭代次数为500，为了降低随机性干扰，每种算法独立运行30次。以文献[1]中F1、F2、F8、F9、F10 (30维)、F12(4维)为例。结果显示如下：

函数：F1
SCA：最差值: 53.7679, 最优值: 0.020562, 平均值: 12.4325, 标准差: 16.6788, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 1.8873e-71, 最优值: 4.5484e-83, 平均值: 6.32e-73, 标准差: 3.4453e-72, 秩和检验: 1.2118e-12
SSA：最差值: 3.2693e-66, 最优值: 0, 平均值: 1.6286e-67, 标准差: 6.5668e-67, 秩和检验: 4.5736e-12
SHSSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F2
SCA：最差值: 0.21459, 最优值: 0.0010897, 平均值: 0.021505, 标准差: 0.04429, 秩和检验: 2.9822e-11
WOA：最差值: 1.5605e-49, 最优值: 1.9907e-57, 平均值: 1.0148e-50, 标准差: 3.7033e-50, 秩和检验: 2.9822e-11
SSA：最差值: 5.7017e-30, 最优值: 7.3561e-213, 平均值: 1.9385e-31, 标准差: 1.0405e-30, 秩和检验: 2.9822e-11
SHSSA：最差值: 4.7613e-258, 最优值: 0, 平均值: 2.2113e-259, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F8
SCA：最差值: 20.3248, 最优值: 0.039077, 平均值: 12.3176, 标准差: 9.486, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.3225e-15, 标准差: 2.1847e-15, 秩和检验: 8.8114e-10
SSA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SHSSA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F9
SCA：最差值: 2.3129, 最优值: 0.13461, 平均值: 1.1053, 标准差: 0.53636, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 0.24766, 最优值: 0, 平均值: 0.012879, 标准差: 0.051059, 秩和检验: 0.1608
SSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SHSSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F10
SCA：最差值: 2.5424e-55, 最优值: 2.0155e-71, 平均值: 8.4927e-57, 标准差: 4.6415e-56, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 8.4447e-189, 最优值: 1.0593e-224, 平均值: 5.5671e-190, 标准差: 0, 秩和检验: 1.2118e-12
SSA：最差值: 5.1065e-154, 最优值: 0, 平均值: 1.7022e-155, 标准差: 9.3231e-155, 秩和检验: 1.6572e-11
SHSSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F12
SCA：最差值: -0.4965, 最优值: -6.2065, 平均值: -2.5865, 标准差: 1.7162, 秩和检验: 1.9544e-11
WOA：最差值: -2.6276, 最优值: -10.1524, 平均值: -8.2766, 标准差: 2.7268, 秩和检验: 9.0138e-10
SSA：最差值: -5.0552, 最优值: -10.1532, 平均值: -8.4539, 标准差: 2.4443, 秩和检验: 0.19902
SHSSA：最差值: -5.061, 最优值: -10.1532, 平均值: -9.9577, 标准差: 0.9355, 秩和检验: 1

结果表明，SHSSA与其余3种算法相比，收敛速度更快、寻优精度更高、稳定性更强。

三、参考文献

[1] 陈功, 曾国辉, 黄勃, 等. 螺旋探索与自适应混合变异的麻雀搜索算法[J/OL]. 小型微型计算机系统: 1-12 [2021-12-23].
[2] Feng, J., Zhang, J., Zhu, X. et al. A novel chaos optimization algorithm[J]. Multimedia Tools and Applications volume, 2017, 76: 17405-17436.

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