一、树的介绍

1. 树的定义

树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
(01) 每个节点有零个或多个子节点；
(02) 没有父节点的节点称为根节点；
(03) 每一个非根节点有且只有一个父节点；
(04) 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

2. 树的基本术语

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

结点的度：结点拥有的子树的数目。
叶子：度为零的结点。
分支结点：度不为零的结点。
树的度：树中结点的最大的度。

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次。
无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

树中的深度、高度及层数相关概念

深度是从上往下数的，高度是从下往上数的，深度和高度都涉及到节点的层数

(经过学习发现，深度、高度概念在不同的教材中有不同的定义，主要看高度深度的初值为几，有的为0，有的为1)。

(1).定义一（初值为0）：节点的深度是根节点到这个节点所经历的边的个数

　　　　　　　　　　　节点的高度是该节点到叶子节点的最长路径（边数）

　　　　　　　　　　　树的高度等于根节点的高度

具体如下图所示（参考1）：

(2).定义二(初值为1)：节点的深度是根节点到这个节点的最长路径上的节点数

　　　　　　　　　　节点的高度是该节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数

具体如下图所示（参考2）：

此外还有最小深度的概念。最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量(初值为1)。

二、二叉树的介绍

1. 二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：

二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

2. 二叉树的性质

二叉树有以下几个性质：
性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)。
性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)。
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

2.1 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)

证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
(01) 当i=1时，第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
(02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}"即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}。
故假设成立，原命题得证！

2.2 性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k-1=2k-1
故原命题得证！

2.3 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)

证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

2.4 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一。
(等式一) n=n0+n1+n2
　另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
(等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！

3. 满二叉树，完全二叉树和二叉查找树

3.1 满二叉树

定义：高度为h，并且由2{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。

3.2 完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

3.3 二叉查找树

定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。

在二叉查找树中：
(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

在实际应用中，二叉查找树的使用比较多。下面，用C语言实现二叉查找树。

二叉查找树的C实现

1. 节点定义

1.1 节点定义

typedef int Type;typedef struct BSTreeNode{Type   key;                    // 关键字(键值)struct BSTreeNode *left;    // 左孩子struct BSTreeNode *right;    // 右孩子struct BSTreeNode *parent;    // 父结点
}Node, *BSTree;

二叉查找树的节点包含的基本信息：
(01) key -- 它是关键字，是用来对二叉查找树的节点进行排序的。
(02) left -- 它指向当前节点的左孩子。
(03) right -- 它指向当前节点的右孩子。
(04) parent -- 它指向当前节点的父结点。

1.2 创建节点

创建节点的代码

static Node* create_bstree_node(Type key, Node *parent, Node *left, Node* right)
{Node* p;if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)return NULL;p->key = key;p->left = left;p->right = right;p->parent = parent;return p;
}

2 遍历

这里讲解前序遍历、中序遍历、后序遍历3种方式。

2.1 前序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 访问根结点；
(02) 先序遍历左子树；
(03) 先序遍历右子树。

前序遍历代码

void preorder_bstree(BSTree tree)
{if(tree != NULL){printf("%d ", tree->key);preorder_bstree(tree->left);preorder_bstree(tree->right);}
}

2.2 中序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 中序遍历左子树；
(02) 访问根结点；
(03) 中序遍历右子树。

中序遍历代码

void inorder_bstree(BSTree tree)
{if(tree != NULL){inorder_bstree(tree->left);printf("%d ", tree->key);inorder_bstree(tree->right);}
}

2.3 后序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 后序遍历左子树；
(02) 后序遍历右子树；
(03) 访问根结点。

后序遍历代码

void postorder_bstree(BSTree tree)
{if(tree != NULL){postorder_bstree(tree->left);postorder_bstree(tree->right);printf("%d ", tree->key);}
}

下面通过例子对这些遍历方式进行介绍。

对于上面的二叉树而言，
(01) 前序遍历结果： 3 1 2 5 4 6
(02) 中序遍历结果： 1 2 3 4 5 6
(03) 后序遍历结果： 2 1 4 6 5 3

3. 查找

递归版本的代码

Node* bstree_search(BSTree x, Type key)
{if (x==NULL || x->key==key)return x;if (key < x->key)return bstree_search(x->left, key);elsereturn bstree_search(x->right, key);
}

非递归版本的代码

Node* iterative_bstree_search(BSTree x, Type key)
{while ((x!=NULL) && (x->key!=key)){if (key < x->key)x = x->left;elsex = x->right;}return x;
}

4. 最大值和最小值

查找最大值的代码

Node* bstree_maximum(BSTree tree)
{if (tree == NULL)return NULL;while(tree->right != NULL)tree = tree->right;return tree;
}

查找最小值的代码

Node* bstree_minimum(BSTree tree)
{if (tree == NULL)return NULL;while(tree->left != NULL)tree = tree->left;return tree;
}

5. 前驱和后继

节点的前驱：是该节点的左子树中的最大节点。
节点的后继：是该节点的右子树中的最小节点。

查找前驱节点的代码

Node* bstree_predecessor(Node *x)
{// 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。if (x->left != NULL)return bstree_maximum(x->left);// 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：// (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。// (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。Node* y = x->parent;while ((y!=NULL) && (x==y->left)){x = y;y = y->parent;}return y;
}

查找后继节点的代码

Node* bstree_successor(Node *x)
{// 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。if (x->right != NULL)return bstree_minimum(x->right);// 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：// (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。// (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。Node* y = x->parent;while ((y!=NULL) && (x==y->right)){x = y;y = y->parent;}return y;
}

6. 插入

插入节点的代码

static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z)
{Node *y = NULL;Node *x = tree;// 查找z的插入位置while (x != NULL){y = x;if (z->key < x->key)x = x->left;elsex = x->right;}z->parent = y;if (y==NULL)tree = z;else if (z->key < y->key)y->left = z;elsey->right = z;return tree;
}Node* insert_bstree(BSTree tree, Type key)
{Node *z;    // 新建结点// 如果新建结点失败，则返回。if ((z=create_bstree_node(key, NULL, NULL, NULL)) == NULL)return tree;return bstree_insert(tree, z);
}

bstree_insert(tree, z)是内部函数，它的作用是：将结点(z)插入到二叉树(tree)中，并返回插入节点后的根节点。
insert_bstree(tree, key)是对外接口，它的作用是：在树中新增节点，key是节点的值；并返回插入节点后的根节点。

注：本文实现的二叉查找树是允许插入相同键值的节点的！若用户不希望插入相同键值的节点，将bstree_insert()修改为以下代码即可。

static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z)
{Node *y = NULL;Node *x = tree;// 查找z的插入位置while (x != NULL){y = x;if (z->key < x->key)x = x->left;else  if (z->key > x->key)x = x->right;else{free(z); // 释放之前分配的系统。return tree;}}z->parent = y;if (y==NULL)tree = z;else if (z->key < y->key)y->left = z;elsey->right = z;return tree;
}

7. 删除

删除节点的代码

static Node* bstree_delete(BSTree tree, Node *z)
{Node *x=NULL;Node *y=NULL;if ((z->left == NULL) || (z->right == NULL) )y = z;elsey = bstree_successor(z);if (y->left != NULL)x = y->left;elsex = y->right;if (x != NULL)x->parent = y->parent;if (y->parent == NULL)tree = x;else if (y == y->parent->left)y->parent->left = x;elsey->parent->right = x;if (y != z) z->key = y->key;if (y!=NULL)free(y);return tree;
}Node* delete_bstree(BSTree tree, Type key)
{Node *z, *node; if ((z = bstree_search(tree, key)) != NULL)tree = bstree_delete(tree, z);return tree;
}

bstree_delete(tree, z)是内部函数，它的作用是：删除二叉树(tree)中的节点(z)，并返回删除节点后的根节点。
delete_bstree(tree, key)是对外接口，它的作用是：在树中查找键值为key的节点，找到的话就删除该节点；并返回删除节点后的根节点。

8. 打印

打印二叉树的代码

void print_bstree(BSTree tree, Type key, int direction)
{if(tree != NULL){if(direction==0)    // tree是根节点printf("%2d is root\n", tree->key);else                // tree是分支节点printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");print_bstree(tree->left, tree->key, -1);print_bstree(tree->right,tree->key,  1);}
}

print_bstree(tree, key, direction)的作用是打印整颗二叉树(tree)。其中，tree是二叉树节点，key是二叉树的键值，而direction表示该节点的类型：

direction为 0，表示该节点是根节点;
direction为-1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
direction为 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。

9. 销毁二叉树

销毁二叉树的代码

void destroy_bstree(BSTree tree)
{if (tree==NULL)return ;if (tree->left != NULL)destroy_bstree(tree->left);if (tree->right != NULL)destroy_bstree(tree->right);free(tree);
}

转载出处：

二叉查找树(一)之图文解析和 C语言的实现 - 如果天空不死 - 博客园

树的高度与深度 - jianglin_liu - 博客园

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