模式识别学习笔记——第2章 统计学习方法—2.3最小风险贝叶斯决策
根据场合的不同,我们的决策可能不仅仅是错误率,还有可能是决策错误带来的风险。所谓最小风险贝叶斯决策,就是考虑各种错误造成损失不同时的一种最优决策。
下面用决策论的数学符号表示最小风险贝叶斯决策问题:
把样本看作是由d个特征成员组成的d维随机向量
状态空间
对随机向量可采取的决策组成了决策空间,它由k个决策组成
值得注意的是,状态空间和决策空间不一定是一一对应的,即不一定有k=c。什么意思呢?比如,有时除了将样本决策为某一类别,还可能对一些样本做出拒绝的决策;有时亦可能在决策时把几类合并成为同一个大类;等多种情况。
设对于实际状态为的样本,采取决策所带来的损失记为:
上式称作损失函数。通常用表格形式给出,也称决策表:
决策表是需要人为确定的,决策表不同会导致决策结果的不同。因此,在实际应用中,需要认真分析所研究问题的内在特点和分类的目的,与应用领域的专家共同设计出适当的决策表,才能保证模式识别发挥有效作用。
对于某个样本,对它采取决策的期望损失是:
如果对概率论不太熟悉,可以参照下面这个离散的条件期望公式:
设有一个决策规则,这个函数对特征空间中所有的样本采取决策所造成的期望损失是:
称作平均风险或期望风险。最小化风险贝叶斯决策就是最小化这一期望风险,即
可以看出已知,是一个定值,不需要关注。要使积分最小,那么就应该让函数在定义域内使得最小。
有了上面这张图就会好理解很多,这张图的样本是一个一维的x,这样比较好理解。很坐标是所有样本值,纵坐标是期望损失。范围在0到 ,有三种决策,很容易得出决策期望损失最小,因此此时应该使用决策。最小风险贝叶斯决策就是
若,则
理论说完之后,就要应用在实际问题之中。我们可以按照以下步骤计算:
利用贝叶斯公式计算后验概率
利用决策表,计算期望损失(条件风险)
在各种决策中选择风险最小的决策,即:
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