1. 金融数学中的随机变分法-Wiener空间与Wiener泛函

我们的目标是研究无限维空间上的微分运算，可以简单回忆一下：有限维空间的微分是建立在Lebesgue测度的平移不变性上的（有限维空间中对一切平移都不变的正则测度必是Lebesgue测度乘个常数因子）。由于Lebesgue测度在无限维空间上不具有平移不变性，因此我们必须降低测度平移不变性的要求，分析是否可以建立“类似”的平移不变测度理论——平移拟不变性。

前情提要：

平移拟不变测度

Lebesgue测度在无限维空间上是否具有平移不变性？答：不具有
无限维空间上是否可以建立“类似”的平移不变测度理论以及相应的微分运算？答：降低对测度的平移不变性的要求，提出“拟不变测度”的概念

Wiener空间

经典Wiener空间与抽象Wiener空间
经典Wiener空间的测度具有平移拟不变性

1. 平移拟不变测度

1.1 平移不变测度

平移不变测度定义：对于任意x∈Xx\in Xx∈X和任意μ\muμ可测的集合AAA,我们定义
A−x={y∈X:y+x∈A}A-x=\{y\in X:y+x∈A\}A−x={y∈X:y+x∈A}
我们称μx\mu_xμx为μ\muμ沿xxx方向的平移,如果对于任意可测的集合AAA,有μx(A)=μ(A−x)\mu_x(A)=\mu(A-x)μx(A)=μ(A−x)
如果μx(A)=μ(A)\mu_x(A)=\mu(A)μx(A)=μ(A),则称测度具有平移不变性。

有限维空间的Lebesgue测度具有平移不变性
无限维空间的Lebesgue测度不具有平移不变性：例如,设肝为任一可分、无穷维 Hilbert空问,若λ为中 Borel测度,在每一非空开集上取正数值,且在有界 Borel集上取有限值,则入不可能有运动不变性质事实上,只要任取一组正交基{ek},考虑以ek为心、1/2为半径的球Bk(k∈N,和以0为心、2为半径的球B,若A具有运动不变性质,则因诸Bk互不相交且含于B中,必有X(B)≥∑A1A(Bx)=1imn→∑k=1A(Bk)=imn→nA(B1)=c于是和假定矛盾

1.2 平移拟不变测度

在本章中,我们以表示如下连续函数空间:
W≡{m∈C(R+→B2);t(O)=0,且im(tl=0
→∞1+t
261)
由 Brown运动轨道的熟知性质(例如参看(0.3)可知其几乎所有轨
道属于空间W,因而 Wiener测度μ实际上集中于上,在中
定义范数
Mww= sup(1+t)"w(t)I,
则构成可分 Banach空间.以B=B()表示其 Borel子集σ
代数,B=B”表示B关于的完备化a代数.则(w,B,4)为
一完备概率空间,其上一切B可测函数(随机变量)都称为 Wiener
泛函,而关于测度μ的积分(数学期望)记为E[
值得注意的是,一般的概率空间并没有拓扑结构和代数结构
但如果采用vB,)为基本概率空间,由于W是 Banach室间,给
予了概率空间以补充的线性拓扑结构,因此有可能讨论对 wiener
泛函的微分问题
关于 Banach空间中Gaus