（转）数学中的各种空间

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参考
一篇文章带你理解再生核希尔伯特空间(RKHS)以及各种空间
深刻理解空间（线性空间，度量空间，赋范空间，线性赋范空间，内积空间，巴拿赫空间以及希尔伯特空间）
数学中的空间
现代数学以集合为研究对象。如果研究班上的同学，则研究对象就是班上所有同学组成的集合。
有了研究对象，还需要有研究对象需要遵循的规则。比如要研究班级谈恋爱的情况，则定义一个规则：班里每一名同学可以和另一名同学(不能和自己)之间建立恋爱关系(不限男女)。定义一个规则后就得到了一个赋有某种规则的班级同学的集合，即一个同学恋爱空间。
如果在同学恋爱空间上再定义交友关系，则得到一个同学恋爱交友空间。也就是说关系可以叠加。
定义的规则就是公理，以后任何操作以及推导都只能在公理的基础上进行，为解决问题提供更加严谨的数学理论基础。
总而言之，数学中的空间的组成包括两个部分：研究的对象和内在的规则，或者叫做元素和结构。

1、线性空间
线性空间就是定义了加法和数乘的空间。
线性空间中的元素可以是任何东西。线性空间中的元素满足线性结构，即满足加法和数乘。定义加法和数乘需要8条公理：

空间里的一个元素可以由其他元素线性表示，就是线性空间。

2、度量空间
度量空间就是定义了距离的空间。
距离有很多，例如欧式距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离、马氏距离、切比雪夫距离等等。最常用的两点之间连线的距离称为欧式距离。
距离就是两个元素对应一个数。为集合中两个元素，则决定了一个数。定义距离有三条要遵守的要求：

3、赋范空间
赋范空间就是定义了范数的空间。
距离是针对两个元素，而范数是针对一个元素。定义范数需要遵守三个要求：

4、线性赋范空间
线性赋范空间就是定义了加法、数乘、范数的空间。

5、巴拿赫空间
巴拿赫空间就是完备的赋范空间，定义了距离、范数、完备性。
完备简单来讲就是定义了极限，无论怎么取极限，它的极值都不会跑出这个空间。

完备空间的定义：如果一个空间是完备的，则该空间中的任何一个柯西序列都收敛在该空间中。
柯西序列就是随着序数增加，值之间的距离越来越小的序列。(就是定义了一个极限)
比如实数集是完备的，而有理数集是不完备的。有理数数列取极限可能是无理数。
柯西序列中提到了距离的概念，也就是说在定义完备空间之前，先要有距离的概念。所以完备空间也是完备度量空间。
6、内积空间
内积空间是定义了内积的空间。
内积将两个矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。
内积可以定义范数，也就是说内积比范数更具体。

7、欧式空间
欧式空间是定义了内积的有限维实线性空间。

8、希尔伯特空间
希尔伯特空间是完备的内积空间。

9、拓扑空间
拓扑空间只定义交并运算，即交并运算后仍属于同一集合，包括空集。

空间的关系
线性空间：只有加法和数乘。
度量空间：定义了距离。
赋范空间：定义了范数。
线性赋范空间：线性空间 + 范数。
线性度量空间：线性空间 + 距离。
内积空间：定义了内积。
拓扑空间：定义了交并运算。
巴拿赫空间：赋范空间 + 完备性。
希尔伯特空间：内积空间(无限维) + 完备性。
注：范数比距离更具体，内积比范数更具体。

数学中为什么要定义各种空间？
https://www.zhihu.com/question/37235890
泛函分析这门课的推动力在什么地方呢？统一性（或者抽象性），将看似差异较大的问题统一到同一框架下。具体的说，只要能够给问题找到合适空间，看上去差别较大的问题可以用相同的泛函分析的工具解决，后面说的不动点定理就是一个典型的例子。
作者：老楼
链接：https://www.zhihu.com/question/37235890/answer/108587384
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先说结论：（1）空间之间的联系，前面知友MMMarvin给出了链接：数学中关于集合、空间、数域概念的关系？ - 蔡奕欣的回答（2）空间的用途：度量空间解决收敛性和相似性问题，可以使用不动点定理证明解的存在唯一性问题；赋范线性空间解决元素线性运算封闭问题，可以使用四大定理（Hahn-Banach定理，一致有界定理，开映射定理和闭图像定理）解决应用问题；Hilbert空间解决正交性推广的问题，在逼近论和信号处理中常用；索伯列夫空间可以搞定微分方程的弱解问题。1.度量空间和不动点定理度量空间，非空的集合+距离。集合中两个元素之间的距离是通过公理化的方式定义的。度量空间这一块的内容，有的书上概念是这么安排的：距离=》邻域=》开集，连续，极限=》完备性，最终指向完备性。到底什么是完备性？所谓完备的空间是指空间序列的极限包含在该空间里。如果学过实数完备性的就知道，有理数是在极限意义下是不完备的：有很多有理数序列的极限是无理数，比如 x(1) = 1, x(n+1) = 0.5(x(n)+2/x(n))的极限是根号2。将有理数和无理数合在一起构成的实数是完备的。实数是一个具体的例子，而度量空间是一个抽象概念。这样我们可以看清定义度量空间的背后动机：将实数理论和序列极限的概念推广到抽象的集合上。能够看清到这一点，那么列紧性和可分性也很好理解。这样做的好处是什么呢？实数里面的部分相关的定理可以愉快的平移过来，可以使用以前的经验愉快在度量空间里面玩耍了。度量空间的核心就是不同度量，既不同的空间一般需要不同的距离函数，而这些函数可以用来判断两个元素之间的相似程度。度量空间有什么用呢？其实这个问题是在问：定义了元素之间的距离（也就是相似性）有什么价值？（1）在机器学习的聚类算法中，不同的距离函数可能会不同的聚类结果。
距离函数的选择依赖于经验或者对具体应用问题的理解。（2）序列的收敛性，不动点定理。不同的方程问题可以定义不同的距离函数，然后使用不动点定理解决不同类型方程的解的存在性和唯一性。下面我们来讨论不动点定理（压缩映像定理）：压缩映射T必有不动点x，T(x) = x。
什么是压缩映射？假设距离定义为d(x,y), 如果 d(Tx,Ty)<=c*d(x,y)，0<c<1,那么T就是一个压缩映射。压缩映像定理可以解决下面3类问题解的唯一性：线性代数方程，常微分方程，积分方程。可以通过定义不同空间和度量，将这些问题的解放在不同的度量空间中，然后套用不动点定理即可。
线性代数方程对应的是n维欧氏空间，常微分方程和积分方程可以使用连续函数空间（具体推导可以参考：欧文.克雷斯齐格，《泛函分析导论及应用》的第五章）。这是泛函分析里非常漂亮的结果，看似不一样的问题，可以用相同的工具解决。压缩映像定理依然是很多学者的一个重要工具。2. 赋范线性空间、Banach空间和四大定理赋范线性空间：线性空间+范数。范数是对二维平面或者三维空间中向量长度的推广。
有了范数可以定义距离。d(x,y) = ||x-y||。只要定义了距离，就可以称为度量空间。所以我们可以认为度量空间包含赋范线性空间。同样可以通过范数导出的距离来定义极限，序列，从而定义完备性。完备的赋范线性空间是Banach空间，所以赋范线性空间包含Banach空间。分析中遇到的大量度量空间，都能看作赋范线性空间，所以赋范线性空间在应用中是非常重要的一类空间。那么有了度量空间了，为什么还要定义赋范线性空间？度量空间给出了距离，接着可以定义收敛性，但是没有给出元素之间线性运算的性质。比如说连续函数空间，连续函数对线性运算封闭，而这正是代数里面学过的线性空间的概念。有了线性运算性质和距离定义，就可以研究级数的敛散性。从赋范空间到赋范空间的映射叫做算子，从赋范空间到实数R或者复数C的映射叫做泛函。四大定理： Hahn-Banach定理、共鸣定理（一致有界定理）、开映射定理和闭图像定理。（1）
Hahn-Banach定理用来讨论一个泛函从一个小的子空间延拓到整个空间中。（2）
共鸣定理讨论一致有界问题。（3）
开映射定理讨论什么样的条件下有界线性算子是开映射。（4）
闭图像定理讨论闭线性算子有界的充分条件。定理应用：（1）
Hahn-Banach定理是一个非常奇妙的定理。证明存在性的问题时，只需要考虑在一个子空间上构造满足要求的结果，然后使用该定理延拓到整个空间。详细见欧文.克雷斯齐格，《泛函分析导论及应用》的4.3-3定理）。（2）
共鸣定理可以用来研究Fourier级数的发散、数值积分收敛性和插值公式发散性等问题（详细见：王声望和郑维行的《实变与泛函分析概要（第2册）》中的8.3节）。
作者：老楼
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内积空间、Hilbert空间内积空间：线性空间+内积。Hilbert空间：由内积导出的范数完备的内积内积空间Hilbert空间。为什么要定义内积？这个理由和线性代数里面定义内积的理由一样：加入角度。范数只能反映长度。那么为什么要加入角度呢？其实是要推广正交性，以及正交性相关的概念（正交投影，正交分解，正交基）。为什么要推广正交性呢？正交有很多非常好的性质，有的泛函分析书上会讨论唯一最佳逼近。有的书会讨论标准正交基，实际上，工科里面，我们将信号按照某个正交基展开，对展开的系数进行处理就能够解决某些信号处理问题，比如说信号噪声处理。 4. 索伯列夫空间索伯列夫空间分整数次索伯列夫空间和分数次索伯列夫空间。应用：椭圆型或抛物型微分方程定解问题和样条插值的逼近问题可以在索伯列夫空间使用泛函的工具解决。如果工程力学里面要学流体力学，很大的概率要遇到索伯列夫空间。下面直接拷贝
Haim Brezis 《Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential
Equations》一书的8.1节内容，非常好的说明了索伯列夫空间的动机和解决方程问题的步骤。

作者：白展堂
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空间（space）是带有结构（structure）的集合（set），比如线性空间就是定义了两种代数运算结构的集合。分析关心的核心问题是极限。泛函分析研究的结构最简单（其实还可以更“简单”）的对象是度量空间，其上只有度量结构（一种拓扑结构）。因为有拓扑结构，所以就可以定义极限了。然而也只能定义极限——不能像矩阵那样做加法数乘。因此也就没有“收敛数列的和如何如何”，“有界数列与收敛数列的乘积如何如何”的结论。但在实际应用中，线性运算又是很基本的要求。于是需要将拓扑结构和代数结构相容，于是就得到了赋范线性空间（实际上如果是度量结构和线性结构相容得到的应该是线性度量空间，更一般有TVS，LCS等等），这样的空间上可以求极限，还可以进行直觉期望的极限之间的线性运算了。然而，没有内积，没有内积就不能定义角度以及正交，空间就不能正交分解——这正是n维欧式空间的结构，也没有投影定理，当然也就不能给概率论里的相关系数以有启发的解释，实际上问题就更多得多了——所以，就有了光，啊，不是，是内积空间。至于Banach空间，Hilbert空间指的是完备的赋范空间和完备的内积空间，以剔除像Q那样不能随便求（看上去有极限的）点列的极限的集合。在这些基本框架基础上，根据需要（分析方面主要是偏微分方程，调和分析和随机过程）还会对以上基本的空间结构附加其他要求，因此得到其他常用的空间，典型的如各种Sobolev空间等等把有结构的集合定义为空间，既是归纳以方便使用的需要，应该也是布尔巴基学派结构化数学的影响吧。

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