PAT甲级1066 Root of AVL Tree (25分)：[C++题解]建立平衡树(AVL树)

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图片来源：acwing
分析
平衡树(AVL树)是平衡二叉搜索树的简称，当然需要满足二叉搜索树的性质，左子树小于根，根小于等于右子树；然后还要满足平衡树的基本特性，就是任意一个结点的左右子树高度之差不超过1.

不平衡的BST可以经过左旋或者右旋变成新的平衡树。左旋和右旋只是改变树的结构，不会改变树的中序遍历结果。

以下图说明右旋的过程，实际上，下图已经是平衡树，不用旋转。仍然可以说明右旋的具体操作。下图中L[]数组表示左儿子，R[]数组表示右儿子。

右旋分为三步：1）B变成根；2)A变成B的右孩子；3）把E变成A的左孩子。

实现右旋的代码如下：其中update是一个函数，用来计算结点高度。请读者对照上图阅读本代码。

/*
右旋
u 是结点
*/
void R(int& u){int p =l[u]; //左儿子记为pl[u] =r[p];//p的右儿子（E）变成原来根（A）的左儿子r[p] = u;  //新根的右儿子是原来的根uupdate(u),update(p); //重新计算高度u = p; //根结点变成左儿子p
}

将右图转化为左图就是左旋，如下图。

左旋代码：和右旋正好对称，将l和r互换即可。

void L(int& u){int p = r[u];//右儿子（图中的A）记pr[u] = l[p]; //p（图中的A）的左儿子（图中的E）变成原来根（图中的B）的右儿子l[p] = u; //原来的根（图中的B）变成p（图中的A）的左儿子update(u),update(p); //重新计算结点的高度u = p;
}

ac代码
四种情况如下图，insert()函数用来构造AVL树，以A为树根。

如果if(get_balance(u) == -2)，表示右子树比左子树高度高2，可以有两种情况。先取A的右孩子B，第一种是如果if(get_balance(u) == -1) 即B的右子树高度比左子树高1，即情况[2],此时左旋A；另一种是B的左子树高度比右子树高1，即情况[4].此时先右旋B，再左旋A。

如果if(get_balance(u) == 2) 表示左子树高度比右子树高2，可以分为两种情况。先取A的左儿子B。第一种情况是如果if(get_balance(u) ==1) 表示B的左子树比右子树高度高1，即情况[1]，此时右旋A；另一种是B的右子树比左子树高1，即情况[3].此时先左旋B，再右旋A。


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 40;
int l[N],r[N],v[N];//权值
int n;
int h[N];//高度
int idx; /*update求每一结点的高度*/
void update(int u){h[u] =max(h[l[u]] , h[r[u]]) + 1;
}/*
右旋
u 是结点
*/
void R(int& u){int p =l[u]; //左儿子成为新的根l[u] =r[p];//根的左儿子变成r[p] = u;  //新根的右儿子是原来的根uupdate(u),update(p); //重新计算高度u = p; //根结点变成左儿子p
}/*
左旋
u是结点
*/
void L(int& u){int p = r[u];//右儿子成为新根r[u] = l[p];l[p] = u;update(u),update(p);u = p;
}
/*
get_balance左子树和右子树高度差
*/
int get_balance(int u){return h[l[u]] -h[r[u]];
}/*
insert建平衡树
1.二叉搜索树
2.高度差≤1
*/
void insert(int &u, int w){if(u==0){u =++idx;v[u] =w;}else if(w< v[u]){insert(l[u],w);//左子树比右子树高2 情况[1]if(get_balance(u) ==2){//以左儿子为根，其左子树以右子树高1if(get_balance(l[u]) ==1) R(u);//以左儿子为根，其右子树比左子树高1 如情况[3]else L(l[u]),R(u);}} else {insert(r[u],w);//右子树比左子树高2 如情况[2]if(get_balance(u) == -2){//以右儿子为根，其右子树比左子树高1，if(get_balance(r[u]) == -1) L(u);//以右儿子为根，其左子树比右子树高1else R(r[u]),L(u);}}update(u); //求u结点的高度
}int main(){cin >> n;int root =0;while(n--){int w;cin>> w;insert(root ,w);}//输出avl树根cout<<v[root]<<endl;
}

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PAT甲级1066 Root of AVL Tree (25分)

acwing1552. AVL树的根