协方差之随机变量间的协方差及向量之间的协方差之间的微妙的区别

1.传统统计学中的随机变量(元素无序)的协方差计算公式：

这里我们计算E[XY]时，需要用到随机变量函数的期望：这里假设X，Y为离散随机变量：

$E[XY] = \sum_{i = 1}^{N}\sum_{j=1}^{N}x_{i}y_{j}*{p_{ij}}$
$Conv(X,Y)= \sum_{i = 1}^{N}\sum_{j=1}^{N}x_{i}y_{j}*{p_{ij}} - E(X)E(Y)$

2.我们在某些情况下使用的时候，通常要对，有序的向量计算协方差，来反映向量之间的线性相关性，因此我们有下列公式：

$Conv(X,Y) = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_{i} - E(X))(y_{i} - E(Y))}{n}$ ，PS：这里分母也可以是是n - 1，
$\frac{\sum_{i=1}^{N}x_{i}y_{i}}{n} - E(X)E(Y)$

仔细观察这两种用法，我们发现，上面的原始用法其实没有考虑随机变量里元素之间的顺序关系，而对向量而言，要考虑其各个元素的关系。

协方差的意义：反映两个随机变量之间的线性相关性！！

这是我本人对两种公式的理解特此记录，如果我的理解有误，也希望大家批评指正。

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