MATLAB机器学习系列-12：蚁群算法优化原理及其matlab实现

蚁群算法原理

概述

蚁群算法（Ant Colony Algorithm, ACA）由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中首次提出，该算法模拟了自然界中蚂蚁的觅食行为。
蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其它蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征路径的远近，信息素浓度越高，表示对应的路径距离越短。
通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样，会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即距离最短。
值得一提的是，生物学家同时发现，路径上的信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰减。
将蚁群算法应用于解决优化问题，其基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

-数学公式原理如图
allow表示没有访问过的城市

模型

蚁群算法的特点

采用正反馈机制，使得搜索过程不断收敛，最终逼近于最优解；
每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知围环境的实时变化，个体间通过环境进行间接地通讯；
搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行并行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率；
启发式的概率搜索方式，不容易陷入局部最优，易于寻找到全局最优解。

MATLAB实现

算例旅行商问题

重点函数解读
ismember

格式 k = ismember(a,S) %当a中元素属于S时，k取1，否则，k取0。
k = ismember(A,S,‘rows’) %A、S有相同的列，返回行相同k取1，不相同取0的列向量。

~ 取反

cumsum

对数组计算累计求和。如果A是一个向量，函数返回一个长度相同的向量，其中的元素是原向量的累积和。如果A是一个矩阵，则将每一列当做一个向量进行计算，最后返回与A大小相同的矩阵。如果A是一个多维数组，函数对第一个长度不为1的维度进行计算。B=cumsum(A,dim)沿着dim指定的维度返回元素的累积和。

num2str

把数字转换为字符串

text

text(x,y，‘string’)将用引号括起来的字符串添加到点(x,y) x和y必须是类的个数所指定的位置

算例开始
第一步：清空环境变量

%% I. 清空环境变量
clear all
clc

第二步：导入数据

%% II. 导入数据
load citys_data.mat

一共有31个样本，代表31个城市，每个城市有2维数据，横纵坐标

第三步：计算城市间相互距离,

n = size(citys,1);%n=31
D = zeros(n,n);%因为是计算两两之间的距离，所以矩阵为31*31
for i = 1:nfor j = 1:nif i ~= jD(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));elseD(i,j) = 1e-4;  %对角矩阵 距离为0，我将对角矩阵赋值一个很小的距离，不影响计算。因为前文图中公式里有距离的倒数   endend
end

第四步：初始化参数

%% IV. 初始化参数
m = 50;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 200;                      % 最大迭代次数
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度

第五步：迭代

%% V. 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max% 随机产生各个蚂蚁的起点城市start = zeros(m,1);for i = 1:m   %遍历每一个蚂蚁temp = randperm(n);%randperm(n)产生1-n的随机序列start(i) = temp(1); %起始点赋值endTable(:,1) = start; %% Table路径记录表 citys_index = 1:n;% 逐个蚂蚁路径选择for i = 1:m% 逐个城市路径选择for j = 2:ntabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);%取出未访问过的城市索引 allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合P = allow;% 计算城市间转移概率for k = 1:length(allow)P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;endP = P/sum(P);% 轮盘赌法选择下一个访问城市Pc = cumsum(P);     target_index = find(Pc >= rand); target = allow(target_index(1));Table(i,j) = target;endend% 计算各个蚂蚁的路径距离Length = zeros(m,1);for i = 1:mRoute = Table(i,:);for j = 1:(n - 1)Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));endLength(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));end% 计算最短路径距离及平均距离if iter == 1[min_Length,min_index] = min(Length);Length_best(iter) = min_Length;  Length_ave(iter) = mean(Length);Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);else[min_Length,min_index] = min(Length);Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);Length_ave(iter) = mean(Length);if Length_best(iter) == min_LengthRoute_best(iter,:) = Table(min_index,:);elseRoute_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);endend% 更新信息素Delta_Tau = zeros(n,n);% 逐个蚂蚁计算for i = 1:m% 逐个城市计算for j = 1:(n - 1)Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);endDelta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);endTau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;% 迭代次数加1，清空路径记录表iter = iter + 1;Table = zeros(m,n);
end

第六步：

%% VI. 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);%% VII. 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

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