问题描述

有n个作业（编号为1～n）要在由两台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi（1≤i≤n）。
流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。可以假定任何作业一旦开始加工，就不允许被中断，直到该作业被完成，即非优先调度。

问题求解

作业编号为1到n，调度方案的执行步骤为1到n，解空间每一层对应一个步骤的作业分配。
根结点对应步骤0（虚），依次为步骤1、2、…、n分配任务，叶子结点对应步骤n。
叶子节点为一个可行解，比较求最优解
对于按1～n顺序执行的某种调度方案，f1表示在M1上执行完当前第i步的作业对应的总时间，f2数组表示在M2上执行完当前第i步的作业的总时间。
若第i步执行作业j，计算公式如下：
f1=f1+a[j];
f2[i]=max(f1，f2[i-1])+b[j]
这里由于每个结点中都保存了f1和f2，因此可以将f2数组改为单个变量。将每个队列结点的类型声明如下：

struct NodeType      //队列结点类型
{  int no;          //结点编号int x[MAX];           //x[i]表示第i步分配作业编号int y[MAX];            //y[i]=1表示编号为i的作业已经分配int i;            //步骤编号int f1;           //已经分配作业M1的执行时间int f2;          //已经分配作业M2的执行时间int lb;          //下界bool operator<(const NodeType &s) const  //重载<关系函数{return lb>s.lb; //lb越小越优先出队}
};

对应的求结点e的lb的算法如下：

void bound(NodeType &e)  //求结点e的限界值
{  int sum=0;for (int i=1;i<=n;i++) //扫描所有作业if (e.y[i]==0) sum+=b[i];//仅累计e.x中还没有分配的作业的b时间e.lb=e.f2+sum;
}

用bestf（初始值为∞）存放最优调度时间。
bestx数组存放当前作业最优调度。
采用的剪枝原则是，仅仅扩展 e.lb<bestf 的结点。

代码

//问题表示
int n=4;           //作业数
int a[MAX]={0,5,12,4,8};   //M1上的执行时间,不用下标0的元素
int b[MAX]={0,6,2,14,7};   //M2上的执行时间,不用下标0的元素
//求解结果表示
int bestf=INF;         //存放最优调度时间
int bestx[MAX];     //存放当前作业最佳调度
int total=1;           //结点个数累计struct NodeType     //队列结点类型
{  int no;          //结点编号int x[MAX];           //x[i]表示第i步分配作业编号int y[MAX];            //y[i]=1表示编号为i的作业已经分配int i;            //步骤编号int f1;           //已经分配作业M1的执行时间int f2;          //已经分配作业M2的执行时间int lb;          //下界bool operator<(const NodeType &s) const  //重载<关系函数{return lb>s.lb; //lb越小越优先出队}
};void bound(NodeType &e)
{int sum=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(e.y[i]==0)//当前作业未被分配sum+=b[i];e.lb=e.f2+sum;
}void bfs()
{NodeType e,e1;priority_queue<NodeType> qu;memset(e.x,0,sizeof(e.x));messet(e.y,0,sizeof(e.y));e.i=0;e.f1=0;e.f2=0;bound(e);e.no=total++;qu.push(e);while(!qu.empty()){e=qu.top();qu.pop();if(e.i==n){if(e.f2<bestf){bestf=e.f2;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e.x[j];}}e1.i=e.i+1;for(int j=1;j<=n;j++){if(e.y[j]==1)continue;for(int i=1;i<=n;i++)e1.x[i]=e.x[i];e1.x[e1.i]=j;for(int i=1;i<=n;i++)e1.y[i]=e.y[i];e1.y[j]=1;e1.f1=e.f1+a[j];e1.f2=max(e1.f1,e.f2)+b[j];bound(e1);if(e1.lb<bestf){e1.no=total++;qu.push(e1);}}}
}

改进

在扩展每个子结点时判断是否为叶子结点，若是则产生一个可行解，比较产生最优解，该叶子结点不进队；若不是叶子结点则将其进队。

//问题表示
int n=4;           //作业数
int a[MAX]={0,5,12,4,8};   //M1上的执行时间,不用下标0的元素
int b[MAX]={0,6,2,14,7};   //M2上的执行时间,不用下标0的元素
//求解结果表示
int bestf=INF;         //存放最优调度时间
int bestx[MAX];     //存放当前作业最佳调度
int total=1;           //结点个数累计struct NodeType     //队列结点类型
{  int no;          //结点编号int x[MAX];           //x[i]表示第i步分配作业编号int y[MAX];            //y[i]=1表示编号为i的作业已经分配int i;            //步骤编号int f1;           //已经分配作业M1的执行时间int f2;          //已经分配作业M2的执行时间int lb;          //下界bool operator<(const NodeType &s) const  //重载<关系函数{return lb>s.lb; //lb越小越优先出队}
};void bound(NodeType &e)
{int sum=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(e.y[i]==0)//当前作业未被分配sum+=b[i];e.lb=e.f2+sum;
}void bfs()
{NodeType e,e1;priority_queue<NodeType> qu;memset(e.x,0,sizeof(e.x));messet(e.y,0,sizeof(e.y));e.i=0;e.f1=0;e.f2=0;bound(e);e.no=total++;qu.push(e);while(!qu.empty()){e=qu.top();qu.pop();e1.i=e.i+1;for(int j=1;j<=n;j++){if(e.y[j]==1)continue;for(int i=1;i<=n;i++)e1.x[i]=e.x[i];e1.x[e1.i]=j;for(int i=1;i<=n;i++)e1.y[i]=e.y[i];e1.y[j]=1;e1.f1=e.f1+a[j];e1.f2=max(e1.f1,e.f2)+b[j];bound(e1);if(e1.i==n)//到达叶子节点{if(e1.f2<bestf){bestf=e1.f2;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e1.x[j];}}else if(e1.lb<bestf){e1.no=total++;qu.push(e1);}}}
}

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