B-spline三次B样条曲线方程

一、B-样条基函数

它有两条贝塞尔基函数所没有的特性，

(1)定义域被节点细分（subdivided）；

(2) 基函数不是在整个区间非零。实际上，每个B样条基函数在附近一个子区间非零，

因此，B-样条基函数相当“局部”。

1.节点

设U 是m + 1个非递减数的集合，u0 <= u2 <= u3 <= ... <= um。ui称为节点（knots）, 集合U 称为节点向量（knot vector）, 半开区间[ui, ui+1) 是第i个节点区间（knot span）。

注意某些ui可能相等，某些节点区间会不存在。如果一个节点 ui 出现 k 次 (即，ui = ui+1 = ... = ui+k-1), 其中 k > 1, ui 是一个重复度（multiplicity）为k 的多重节点，写为 ui(k)。

否则，如果ui只出现一次，它是一个简单节点。如果节点等间距(即， ui+1 - ui 是一个常数，对 0 <= i <= m - 1)，节点向量或节点序列称为均匀的；否则它是非均匀的。

节点可认为是分隔点，将区间[u0, um]细分为节点区间。所有B-样条基函数被假设定义域在[u0, um]上。在本文中，我们经常使用u0 = 0和um = 1，所以定义域是闭区间[0,1]。

二.三次B样条

B样条曲线分为近似拟合和插值拟合，

所谓近似拟合就是不过特征点，而插值拟合就是通过特征点，

但是插值拟合需要经过反算得到控制点再拟合出过特征点的B样条曲线方程。这里会一次介绍两种拟合算法。首先介绍B样条的曲线方程。

B样条曲线的总方程为：

其中P i 是控制曲线的特征点，Fi,k(u)则是K阶B样条基函数。

1.1 三次B样条曲线方程中基函数为：

其中表示阶乘。化成看的明白的式子就是（以四个控制点为例）：

将图片上的基函数代入到方程（1）中，就是：

方程（3）就是三次B样条曲线方程。上式(2)的j是什么意思，其实j就是控制点的索引值。这里我把书上的公式摘抄下来，可能看起来更为清晰。参考书籍：《计算机图形学第3版》何援军第13章

三次B样条曲线计算

2 三次B样条曲线近似拟合

近似拟合很简单。不需要求控制点，求得

，由上述方程（3），代入，就可以得到由这四个点近似拟合的一段三次B样条曲线，

起始点在P 0，终点在P 1，

对于闭合轮廓，最后一段可以取前两点做辅助，拟合实验结果我最后一块给出。这种近似拟合曲线光滑，但是最大不足就是不过特征点，也就是不过P i ，需要过点需要反求控制点再拟合。

3 三次B样条插值拟合