计算方法 4.线性方程组解法（2）

记得上一期的高斯消元吗，现在把它写成矩阵相乘的形式：

通过不断的左乘Ln矩阵就可以起到这样的效果，每乘一个就可以消掉一行，总共要n-1次。

这里思考一个问题：L的逆矩阵是怎么样的？：

这样我们就可以把A变成LU，通过推理过程我们也可以看到这个L和U是唯一的，L是下三角，U是上三角。L的每个元素（lij）都是这样算的：lij=aij/ajj(原矩阵的i行j列除以j行j列),U不是直接抄A，第一行是和A一样的，第二行是运算过一次的A...以此类推，这都可以用L-1A=U来推。

这里注明一下，i阶顺序主子式就是A的前i行i列组成的行列式。我们可以看到，L要通过aij/ajj得到，那么ajj必须总不是0，要怎样才能做到呢？就是要顺序主子式都不为零。证明省略。

还有一个小推论：

可见这个方法有严重问题：

左边乘的那个就是行变换了的单位矩阵。

这一步是显而易见的。

由于L和U性状很好，得出的结果也会比较简洁。

先求U，再求L。U求行，L求列。

例子：

因此，直接分解法的流程就是先分成L,U，再计算LY=b,求出Y，再通过UX=Y，求出X。

接下来是crount方法，和上面的差不多：

平方根法：

看起来很复杂，其实算起来就很简单。

这些如果不记得了可以现场推。

追赶法：

对角占优就是中间的那一条线最大，比两边加起来都大。

其实就是直接分解法，但在这种情况下会比较简单。

矩阵的条件数和误差分析：

先看只考虑b误差的情况。

两条杠的意思是范数，算法很多。

再考虑b精确A误差。

那二者皆有怎么办？：

易知cond和矩阵范数的取法有关（取法不一定）。

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