这是我之前在剑桥大学上的一节研究生应数选修课 Image Reconstruction，之前没怎么听懂，所以这段时间想把它补起来。
这节课老师没有明确的讲义，所以我就照记着的一些书的顺序，把它复习了。
整堂课只有我一个人上 QAQ，所以应该算是在数学系里比较小众的方向吧。
因此这篇笔记基本上是为了我自己以后查资料或公式好找一点。
笔记部分摘自 Mathematical Methods in Image Reconstruction. F.Natterer and F.Wuebbeling.

笔记总目录
专栏

文章目录

引言
- 图像重构 Intro
- - Radon Transform 拉东变换 Rf{\color{red}\mathcal{R}f}Rf
  - 傅里叶变换 F{\color{red}\mathcal{F}}F
  - BackProjection operator 后向投影算子 R∗{\color{red}\mathcal{R}^*}R∗

引言

图像重构 Intro

Radon Transform 拉东变换 Rf{\color{red}\mathcal{R}f}Rf

拉东变换是一个积分变换
先它将定义在二维平面上的一个函数 f(x1,x2)f(x_1,x_2)f(x1,x2) 沿着平面上的任意一条直线做线积分，相当于对函数 f(x1,x2)f(x_1,x_2)f(x1,x2) 做 CT扫描
令 X射线在 xxx 点线性衰减后为f(x)f(x)f(x)。那么 X射线光束 LLL 经过的部分成像就是 g(L)=∫Lf(x)dxg(L)=\int_L f(x)dxg(L)=∫Lf(x)dx 。
如果我们用 sss （原点到射线的距离）与 θ\thetaθ （距离的夹角）表示射线 LLL，如图：

可得这条直线为 L(θ,s)={x∈R2:x⋅θ=s},θ∈S1,s∈R1L(\theta,s) = \{x\in \R^2: x\cdot \theta = s\},\; \theta \in S^1, \; s\in \R^1L(θ,s)={x∈R2:x⋅θ=s},θ∈S1,s∈R1
可得如下方程：

g(θ,s)=∫x⋅θ=sf(x)dx=(Rf)(θ,s)g(\theta,s) = \int_{x\cdot \theta = s} f(x)dx = (\mathcal{R}f)(\theta,s)g(θ,s)=∫x⋅θ=sf(x)dx=(Rf)(θ,s)

用python把它表示出来：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 为了之后扩展到 n 维 这里用 x_1 x_2 表示
x1 = np.arange(-10,10.01,.01) # x_1 可以理解为 二维(x,y) 坐标轴的x
x2 = np.arange(-10,10.01,.01) # x_2 可以理解为 二维(x,y) 坐标轴的y
xv = np.meshgrid(x1,x2) # 网格化
degree = 45 # theta 角度
theta = degree/180 *np.pi
s = 2. # s 长度
Lv = abs(xv[0]*np.cos(theta) + xv[1]*np.sin(theta)-s) # x1*cos(theta) + x2*cos(theta) - s = 0
L = np.max((Lv<0.01)*xv[1],axis=0)+np.min((Lv<0.01)*xv[1],axis=0) # 筛选出 满足条件的值
# L.nonzero()  L 的非零值坐标
plt.plot(x1[L.nonzero()],L[L.nonzero()],'blue')
plt.show()

我还做了变量为 sss 和 θ\thetaθ 的动图：

接下来，把它拓展到更高维度 n 维。
构筑 n 维超平面 H(θ,s)={x∈Rn:x⋅θ=s},θ∈Sn−1(unit sphere) ,s∈R1H(\theta,s) = \{x\in \R^n: x\cdot \theta = s\},\; \theta \in S^{n-1} \text{ (unit sphere) }, \; s\in \R^1H(θ,s)={x∈Rn:x⋅θ=s},θ∈Sn−1 (unit sphere) ,s∈R1
超平面垂直于 θ\thetaθ 距离为 sss
同时 H(−θ,−s)=H(θ,s)H(-\theta,-s) = H(\theta,s)H(−θ,−s)=H(θ,s) 为偶函数
可定义

(Rf)(θ,s)=∫x⋅θ=sf(x)dx=∫H(θ,s)f(x)dx(\mathcal{R}f) (\theta, s)= \int_{x\cdot \theta = s} f(x)dx = \int_{H(\theta,s)}f(x) dx(Rf)(θ,s)=∫x⋅θ=sf(x)dx=∫H(θ,s)f(x)dx

Rf\mathcal{R}fRf 函数在单位圆柱 unit sylinder 上

Cn={(θ,s):θ∈Sn−1,s∈R1}{\color{red}C^n} = \{(\theta,s): \theta \in S^{n-1} ,\; s\in \R^1\}Cn={(θ,s):θ∈Sn−1,s∈R1}

因为 H(−θ,−s)=H(θ,s)H(-\theta,-s) = H(\theta,s)H(−θ,−s)=H(θ,s) ，所以 (Rf)(−θ,−s)=Rf(θ,s)(\mathcal{R}f)(-\theta,-s) = \mathcal{R}f(\theta,s)(Rf)(−θ,−s)=Rf(θ,s) 为偶函数
由于 s−x⋅θ=0s - x\cdot \theta = 0s−x⋅θ=0 变换可得：

(Rf)(θ,s)=∫Rnδ(s−x⋅θ)f(x)dx(\mathcal{R}f)(\theta,s) = \int_{\R^n} \delta(s - x \cdot \theta) f(x) dx(Rf)(θ,s)=∫Rnδ(s−x⋅θ)f(x)dx

θ⊥={x∈Rn:x⋅θ=0}\theta^\perp = \{x\in\R^n: x\cdot \theta = 0\}θ⊥={x∈Rn:x⋅θ=0} 正交 θ\thetaθ 的子空间

(Rf)(θ,s)=∫θ⊥f(sθ+y)dy(\mathcal{R}f)(\theta,s) = \int_{\theta^\perp}f(s\theta + y) dy(Rf)(θ,s)=∫θ⊥f(sθ+y)dy

由于 f∈S(Rn)f \in {\color{red}\mathcal{S}(\R^n)}f∈S(Rn) 在速降函数空间内（Schwartz space）
那么 Rf∈S(Cn)\mathcal{R}f \in \mathcal{S}(C^n)Rf∈S(Cn)
S(Cn){\color{red}\mathcal{S}(C^n)}S(Cn) 为

S(Cn)={g∈C∞(Cn):sl∂k∂skg(θ,s)bounded ,l,k=0,1,⋯}\mathcal{S}(C^n) = \Big \{ g \in \mathcal{C}^\infty(C^n): s^l \frac{\partial^k}{\partial s^k} g(\theta,s) \text{ bounded }, \; l,k = 0,1,\cdots \Big \} S(Cn)={g∈C∞(Cn):sl∂sk∂kg(θ,s) bounded ,l,k=0,1,⋯}

C∞(Cn){\color{red}\mathcal{C}^\infty}(C^n)C∞(Cn) 是所有从 CnC^nCn 射到 C\mathcal{C}C 的光滑函数 (无穷阶可导的函数)
卷积运算

(g⋆h)(θ,s)=∫R1g(θ,s−t)h(θ,t)dt(g \star h)(\theta, s) = \int_{\R^1} g(\theta, s-t)h(\theta, t)dt(g⋆h)(θ,s)=∫R1g(θ,s−t)h(θ,t)dt

傅里叶变换 F{\color{red}\mathcal{F}}F

F(g(θ,s))=(2π)−1/2∫R1g(θ,s)e−isσds\mathcal{F}(g(\theta, s)) = (2\pi)^{-1/2} \int_{\R^1}g(\theta, s) e^{-is\sigma} dsF(g(θ,s))=(2π)−1/2∫R1g(θ,s)e−isσds

当 f∈S(Rn),θ∈Sn−1(unit sphere) ,σ∈R1f\in \mathcal{S}(\R^n), \; \theta \in S^{n-1} \text{ (unit sphere) }, \; \sigma \in \R^1f∈S(Rn),θ∈Sn−1 (unit sphere) ,σ∈R1

F[(Rf)(θ,σ)]Cn=(2π)n−12F[f(σθ)]Rn\mathcal{F}\big[(\mathcal{R}f)(\theta, \sigma)\big]_{C^n} = (2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\mathcal{F}[f(\sigma \theta)]_{\R^n}F[(Rf)(θ,σ)]Cn=(2π)2n−1F[f(σθ)]Rn

当 f,g∈S(Rn)f, g \in \mathcal{S}(\R^n)f,g∈S(Rn)

Rf⋆RgCn=R(f⋆g)Rn\underset{C^n}{\mathcal{R}f \star \mathcal{R}g} = \underset{\R^n}{\mathcal{R}(f\star g)}CnRf⋆Rg=RnR(f⋆g)

BackProjection operator 后向投影算子 R∗{\color{red}\mathcal{R}^*}R∗

(R∗g)(x)=∫Sn−1g(θ,x⋅θ)dθ,g∈S(Cn)(\mathcal{R}^* g)(x) = \int_{S^{n-1}} g(\theta, x\cdot \theta) d\theta, \; g\in \mathcal{S}(C^n)(R∗g)(x)=∫Sn−1g(θ,x⋅θ)dθ,g∈S(Cn)

因此对于 g=Rf,(R∗g)(x)g = \mathcal{R}f, \; (\mathcal{R}^*g)(x)g=Rf,(R∗g)(x) 是所有超平面经过 xxx, fff 的积分的均值。
在数学中可以说 R∗\mathcal{R}^*R∗ 是 R\mathcal{R}R 的共轭
对于 g∈S(R1),f∈S(Rn)g \in \mathcal{S}(\R^1), \; f\in \mathcal{S}(\R^n)g∈S(R1),f∈S(Rn)

∫R1g(s)(Rf)(θ,s)ds=∫Rng(x⋅θ)f(x)dx\int_{\R^1} g(s) (\mathcal{R}f)(\theta,s) ds = \int_{\R^n} g(x \cdot \theta)f(x) dx∫R1g(s)(Rf)(θ,s)ds=∫Rng(x⋅θ)f(x)dx

对于 g∈S(Cn),f∈S(Rn)g \in \mathcal{S}(C^n), \; f\in \mathcal{S}(\R^n)g∈S(Cn),f∈S(Rn)

∫Sn−1∫R1gRfdθds=∫Rn(R∗g)f(x)d(x)dx\int_{S^{n-1}}\int_{\R^1} g \mathcal{R}f d\theta ds = \int_{\R^n} (\mathcal{R}^*g)f(x)d(x) dx∫Sn−1∫R1gRfdθds=∫Rn(R∗g)f(x)d(x)dx

当 f∈S(Rn)f\in \mathcal{S}(\R^n)f∈S(Rn) 和 g∈S(Cn)g\in \mathcal{S}(C^n)g∈S(Cn)

(R∗g)⋆f=R∗(g⋆Rf)(\mathcal{R}^*g ) \star f = \mathcal{R}^* (g \star \mathcal{R}f)(R∗g)⋆f=R∗(g⋆Rf)

当 g∈S(Cn)g\in\mathcal{S}(C^n)g∈S(Cn) 为偶 (例 g(θ,s)=g(−θ,−s)g(\theta,s)= g(-\theta,-s)g(θ,s)=g(−θ,−s) )

F[(R∗g)(ξ)]=2(2π)n−12∣ξ∣1−nF[g(ξ∣ξ∣,∣ξ∣)]\mathcal{F}\big[(\mathcal{R}^* g)(\xi)\big] = 2 (2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\lvert \xi \rvert^{1-n} \mathcal{F}\Big[g(\frac{\xi}{\lvert \xi \rvert},\lvert \xi \rvert)\Big]F[(R∗g)(ξ)]=2(2π)2n−1∣ξ∣1−nF[g(∣ξ∣ξ,∣ξ∣)]

通过 Riesz potential 里斯位势在 CnC^nCn

F[(Iαg)(θ,σ)]=∣σ∣−αF[g(θ,σ)],α<1\mathcal{F}\big[(\mathcal{I}^\alpha g)(\theta, \sigma)\big] = \lvert \sigma \rvert^{-\alpha} \mathcal{F}\Big[g(\theta,\sigma)\Big], \; \alpha <1F[(Iαg)(θ,σ)]=∣σ∣−αF[g(θ,σ)],α<1

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数学中的图像重构 -- CT中的 Radon 变换图解

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引言

图像重构 Intro

Radon Transform 拉东变换 Rf{\color{red}\mathcal{R}f}Rf

傅里叶变换 F{\color{red}\mathcal{F}}F

BackProjection operator 后向投影算子 R∗{\color{red}\mathcal{R}^*}R∗

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