4.1 随机变量的数学期望和方差
- 例8 设随机变量X∼P(λ)X\sim P(\lambda)X∼P(λ)，试证E(X)=λE(X)=\lambdaE(X)=λ。
- 例9 设随机变量XXX的分布函数为F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(x−12)F(x)=0.3\varPhi(x)+0.7\varPhi\left(\cfrac{x-1}{2}\right)F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(2x−1)，其中Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)为标准正态分布函数，则E(X)=E(X)=E(X)=______。
- 例11 设随机变量XXX和YYY独立同分布，已知X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)，求Z=min⁡(X,Y)Z=\min(X,Y)Z=min(X,Y)的数学期望E(Z)E(Z)E(Z)。
4.2 矩、协方差和相关系数
- 例2 设随机变量X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1,X2,⋯,Xn相互独立且均服从标准正态分布，记X‾=1n∑i=1nXi,Yi=Xi−X‾\overline{X}=\cfrac{1}{n}\displaystyle\sum^n_{i=1}X_i,Y_i=X_i-\overline{X}X=n1i=1∑nXi,Yi=Xi−X，则Cov(Y1,Yn)=\mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)=Cov(Y1,Yn)=______。
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4.1 随机变量的数学期望和方差

例8 设随机变量X∼P(λ)X\sim P(\lambda)X∼P(λ)，试证E(X)=λE(X)=\lambdaE(X)=λ。

证 P{X=k}=λkk!e−λ,k=0,1,2,⋯P\{X=k\}=\cfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdotsP{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,⋯，故
E(X)=∑k=0+∞k⋅λkk!e−λ=∑k=1+∞λk(k−1)!e−λ=∑i=0+∞λi+1i!e−λ=λ∑i=0+∞λii!e−λ=λ.\begin{aligned} E(X)&=\displaystyle\sum^{+\infty}_{k=0}k\cdot\cfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\displaystyle\sum^{+\infty}_{k=1}\cfrac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}\\ &=\displaystyle\sum^{+\infty}_{i=0}\cfrac{\lambda^{i+1}}{i!}e^{-\lambda}=\lambda\displaystyle\sum^{+\infty}_{i=0}\cfrac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}=\lambda. \end{aligned} E(X)=k=0∑+∞k⋅k!λke−λ=k=1∑+∞(k−1)!λke−λ=i=0∑+∞i!λi+1e−λ=λi=0∑+∞i!λie−λ=λ.
（这道题主要利用了二次项展开式求解）

例9 设随机变量XXX的分布函数为F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(x−12)F(x)=0.3\varPhi(x)+0.7\varPhi\left(\cfrac{x-1}{2}\right)F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(2x−1)，其中Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)为标准正态分布函数，则E(X)=E(X)=E(X)=______。

解 f(x)=F′(x)=0.3φ(x)+0.72φ(x−12)f(x)=F'(x)=0.3\varphi(x)+\cfrac{0.7}{2}\varphi\left(\cfrac{x-1}{2}\right)f(x)=F′(x)=0.3φ(x)+20.7φ(2x−1)，其中φ(x)\varphi(x)φ(x)为标准正态分布函数。
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx=0.3∫−∞+∞xφ(x)dx+0.72∫−∞+∞xφ(x−12)dx=0.3×0+0.7∫−∞+∞(2t+1)φ(t)dt=0.7.\begin{aligned} E(X)&=\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)\mathrm{d}x=0.3\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}x\varphi(x)\mathrm{d}x+\cfrac{0.7}{2}\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}x\varphi\left(\cfrac{x-1}{2}\right)\mathrm{d}x\\ &=0.3\times0+0.7\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}(2t+1)\varphi(t)\mathrm{d}t=0.7. \end{aligned} E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx=0.3∫−∞+∞xφ(x)dx+20.7∫−∞+∞xφ(2x−1)dx=0.3×0+0.7∫−∞+∞(2t+1)φ(t)dt=0.7.
（这道题主要利用了积分求解）

例11 设随机变量XXX和YYY独立同分布，已知X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)，求Z=min⁡(X,Y)Z=\min(X,Y)Z=min(X,Y)的数学期望E(Z)E(Z)E(Z)。

解设ξ=X−μσ,η=Y−μσ\xi=\cfrac{X-\mu}{\sigma},\eta=\cfrac{Y-\mu}{\sigma}ξ=σX−μ,η=σY−μ，ξ,η\xi,\etaξ,η独立同为标准正态分布N(0,1)N(0,1)N(0,1)。显然
Z=min⁡(X,Y)=min⁡(σξ+μ,ση+μ)=σmin⁡(ξ,η)+μ,E[min⁡(ξ,η)]=∫−∞+∞∫−∞+∞min⁡(X,Y)12πe−x2+y22dxdy=12π∫−∞+∞e−x22dx∫−∞xye−y22dy+12π∫−∞+∞e−y22dy∫−∞yxe−x22dx=2⋅12π∫−∞+∞(−1)e−x2dx=−1π.Z=\min(X,Y)=\min(\sigma\xi+\mu,\sigma\eta+\mu)=\sigma\min(\xi,\eta)+\mu,\\ \begin{aligned} E[\min(\xi,\eta)]&=\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}\min(X,Y)\cfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=\cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x\displaystyle\int^x_{-\infty}ye^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y+\cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y\displaystyle\int^y_{-\infty}xe^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x\\ &=2\cdot\cfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}(-1)e^{-x^2}\mathrm{d}x=-\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}. \end{aligned} Z=min(X,Y)=min(σξ+μ,ση+μ)=σmin(ξ,η)+μ,E[min(ξ,η)]=∫−∞+∞∫−∞+∞min(X,Y)2π1e−2x2+y2dxdy=2π1∫−∞+∞e−2x2dx∫−∞xye−2y2dy+2π1∫−∞+∞e−2y2dy∫−∞yxe−2x2dx=2⋅2π1∫−∞+∞(−1)e−x2dx=−π1.
所以E(Z)=σE[min⁡(ξ,η)]+μ=μ−σπE(Z)=\sigma E[\min(\xi,\eta)]+\mu=\mu-\cfrac{\sigma}{\sqrt{\pi}}E(Z)=σE[min(ξ,η)]+μ=μ−πσ。（这道题主要利用了积分公式求解）

4.2 矩、协方差和相关系数

例2 设随机变量X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1,X2,⋯,Xn相互独立且均服从标准正态分布，记X‾=1n∑i=1nXi,Yi=Xi−X‾\overline{X}=\cfrac{1}{n}\displaystyle\sum^n_{i=1}X_i,Y_i=X_i-\overline{X}X=n1i=1∑nXi,Yi=Xi−X，则Cov(Y1,Yn)=\mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)=Cov(Y1,Yn)=______。

解
E(X‾)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=0,E(Yi)=E(Xi)−E(X‾)=0.Cov(Y1,Yn)=E{[Y1−E(Y1)][Yn−E(Yn)]}=E(Y1Yn)=E[(X1−X‾)(Xn−X‾)]=E(X1Xn−X1X‾−XnX‾+X‾2)=E(X1Xn)−E(X1X‾)−E(XnX‾)+E(X‾2).E(\overline{X})=E\left(\cfrac{1}{n}\displaystyle\sum^n_{i=1}X_i\right)=\cfrac{1}{n}\displaystyle\sum^n_{i=1}E(X_i)=0,\\ E(Y_i)=E(X_i)-E(\overline{X})=0.\\ \begin{aligned} \mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)&=E\{[Y_1-E(Y_1)][Y_n-E(Y_n)]\}\\ &=E(Y_1Y_n)=E[(X_1-\overline{X})(X_n-\overline{X})]\\ &=E(X_1X_n-X_1\overline{X}-X_n\overline{X}+\overline{X}^2)\\ &=E(X_1X_n)-E(X_1\overline{X})-E(X_n\overline{X})+E(\overline{X}^2). \end{aligned} E(X)=E(n1i=1∑nXi)=n1i=1∑nE(Xi)=0,E(Yi)=E(Xi)−E(X)=0.Cov(Y1,Yn)=E{[Y1−E(Y1)][Yn−E(Yn)]}=E(Y1Yn)=E[(X1−X)(Xn−X)]=E(X1Xn−X1X−XnX+X2)=E(X1Xn)−E(X1X)−E(XnX)+E(X2).
由于X1,XnX_1,X_nX1,Xn相互独立，E(X1Xn)=E(X1Xn)E(X_1X_n)=E(X_1X_n)E(X1Xn)=E(X1Xn)，由对称性得出E(X1X‾)=E(XnX‾)E(X_1\overline{X})=E(X_n\overline{X})E(X1X)=E(XnX)，而E(X‾2)=D(X‾)+[E(X‾)]2=D(1n∑i=1nXi)+02=1n2∑i=1nD(Xi)=1nE(\overline{X}^2)=D(\overline{X})+[E(\overline{X})]^2=D\left(\cfrac{1}{n}\displaystyle\sum^n_{i=1}X_i\right)+0^2=\cfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum^n_{i=1}D(X_i)=\cfrac{1}{n}E(X2)=D(X)+[E(X)]2=D(n1i=1∑nXi)+02=n21i=1∑nD(Xi)=n1。
总之，
Cov(Y1,Yn)=E(X1)E(Xn)−2E(X1X‾)+1n=0−2⋅1n⋅E(X12+∑i=2nX1Xi)+1n=−2n(1+0)+1n=−1n.\begin{aligned} \mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)&=E(X_1)E(X_n)-2E(X_1\overline{X})+\cfrac{1}{n}\\ &=0-2\cdot\cfrac{1}{n}\cdot E\left(X_1^2+\displaystyle\sum^n_{i=2}X_1X_i\right)+\cfrac{1}{n}\\ &=-\cfrac{2}{n}(1+0)+\cfrac{1}{n}=-\cfrac{1}{n}. \end{aligned} Cov(Y1,Yn)=E(X1)E(Xn)−2E(X1X)+n1=0−2⋅n1⋅E(X12+i=2∑nX1Xi)+n1=−n2(1+0)+n1=−n1.
（这道题主要利用了方差性质求解）

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4.1 随机变量的数学期望和方差

例8 设随机变量X∼P(λ)X\sim P(\lambda)X∼P(λ)，试证E(X)=λE(X)=\lambdaE(X)=λ。

例9 设随机变量XXX的分布函数为F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(x−12)F(x)=0.3\varPhi(x)+0.7\varPhi\left(\cfrac{x-1}{2}\right)F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(2x−1)，其中Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)为标准正态分布函数，则E(X)=E(X)=E(X)=______。

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4.2 矩、协方差和相关系数

例2 设随机变量X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1,X2,⋯,Xn相互独立且均服从标准正态分布，记X‾=1n∑i=1nXi,Yi=Xi−X‾\overline{X}=\cfrac{1}{n}\displaystyle\sum^n_{i=1}X_i,Y_i=X_i-\overline{X}X=n1i=1∑nXi,Yi=Xi−X，则Cov(Y1,Yn)=\mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)=Cov(Y1,Yn)=______。

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例9 设随机变量XXX的分布函数为F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(x−12)F(x)=0.3\varPhi(x)+0.7\varPhi\left(\cfrac{x-1}{2}\right)F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(2x−1​)，其中Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)为标准正态分布函数，则E(X)=E(X)=E(X)=______。

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