目录

  • 3.3  二维均匀分布和二维正态分布
    • 例4  设随机变量XXX的概率密度为f(x)={19x2,0<x<3,0,其他.f(x)=\begin{cases}\cfrac{1}{9}x^2,&0<x<3,\\0,&其他.\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧​91​x2,0,​0<x<3,其他.​令随机变量Y={2,X⩽1,X,1<X<2,1,2⩽X.Y=\begin{cases}2,&X\leqslant1,\\X,&1<X<2,\\1,&2\leqslant X.\end{cases}Y=⎩⎪⎨⎪⎧​2,X,1,​X⩽1,1<X<2,2⩽X.​
      • （1）求YYY的分布函数；
      • （2）求概率P{X⩽Y}P\{X\leqslant Y\}P{X⩽Y}。
    • 例5  设(X,Y)∼N(μ,μ;σ2,σ2;0)(X,Y)\sim N(\mu,\mu;\sigma^2,\sigma^2;0)(X,Y)∼N(μ,μ;σ2,σ2;0)，则P{X<Y}=P\{X<Y\}=P{X<Y}=______。
  • 3.4  两个随机变量函数Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)的分布
    • 例1  设随机变量XXX和YYY相互独立，服从同一参数为λ\lambdaλ的泊松分布，试求：随机变量Z=X+YZ=X+YZ=X+Y的分布律。
  • 习题三
    • 9.设随机变量XXX和YYY相互独立，X∼B(n,p),Y∼B(m,p)X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p)X∼B(n,p),Y∼B(m,p)，试求X+YX+YX+Y的分布。
  • 写在最后

3.3  二维均匀分布和二维正态分布

例4  设随机变量XXX的概率密度为f(x)={19x2,0<x<3,0,其他.f(x)=\begin{cases}\cfrac{1}{9}x^2,&0<x<3,\\0,&其他.\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧​91​x2,0,​0<x<3,其他.​令随机变量Y={2,X⩽1,X,1<X<2,1,2⩽X.Y=\begin{cases}2,&X\leqslant1,\\X,&1<X<2,\\1,&2\leqslant X.\end{cases}Y=⎩⎪⎨⎪⎧​2,X,1,​X⩽1,1<X<2,2⩽X.​

（1）求YYY的分布函数；

解  Y={2,X⩽1,X,1<X<2,1,2⩽X,Y=\begin{cases}2,&X\leqslant1,\\X,&1<X<2,\\1,&2\leqslant X,\end{cases}Y=⎩⎪⎨⎪⎧​2,X,1,​X⩽1,1<X<2,2⩽X,​显然YYY是随机变量XXX的函数，只是这函数是分段表示的，YYY的取值：1⩽Y⩽21\leqslant Y\leqslant21⩽Y⩽2。所以讨论YYY的分布函数FY(y)F_Y(y)FY​(y)用分段讨论。
  当y<1y<1y<1时，FY(y)=P{Y⩽y}⩽P{Y<1}=0F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}\leqslant P\{Y<1\}=0FY​(y)=P{Y⩽y}⩽P{Y<1}=0；
  当1⩽y<21\leqslant y<21⩽y<2时，
FY(y)=P{Y⩽y}=P{Y<1}+P{Y=1}+P{1<Y⩽y}=0+P{X⩾2}+P{1<X⩽y}=∫2319x2dx+∫1y19x2dx=y3+1827.\begin{aligned} F_Y(y)&=P\{Y\leqslant y\}=P\{Y<1\}+P\{Y=1\}+P\{1<Y\leqslant y\}\\ &=0+P\{X\geqslant2\}+P\{1<X\leqslant y\}\\ &=\displaystyle\int^3_2\cfrac{1}{9}x^2\mathrm{d}x+\displaystyle\int^y_1\cfrac{1}{9}x^2\mathrm{d}x=\cfrac{y^3+18}{27}. \end{aligned} FY​(y)​=P{Y⩽y}=P{Y<1}+P{Y=1}+P{1<Y⩽y}=0+P{X⩾2}+P{1<X⩽y}=∫23​91​x2dx+∫1y​91​x2dx=27y3+18​.​
  当2⩽y2\leqslant y2⩽y时，FY(y)=P{Y⩽y}=P{Y⩽2}=1F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{Y\leqslant2\}=1FY​(y)=P{Y⩽y}=P{Y⩽2}=1。
  总之，YYY的分布函数为FY(y)={0,y<1,y3+1827,1<X<2,1,2⩽y.F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<1,\\\cfrac{y^3+18}{27},&1<X<2,\\1,&2\leqslant y.\end{cases}FY​(y)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​0,27y3+18​,1,​y<1,1<X<2,2⩽y.​

（2）求概率P{X⩽Y}P\{X\leqslant Y\}P{X⩽Y}。

解  因为Y={2,X⩽1,X,1<X<2,1,2⩽X.Y=\begin{cases}2,&X\leqslant1,\\X,&1<X<2,\\1,&2\leqslant X.\end{cases}Y=⎩⎪⎨⎪⎧​2,X,1,​X⩽1,1<X<2,2⩽X.​
P{X⩽Y}=P{X=Y}+P{X<Y}=P{1<X<2}+P{X⩽1}=P{X<2}=∫0219x2dx=827.\begin{aligned} P\{X\leqslant Y\}&=P\{X=Y\}+P\{X<Y\}\\ &=P\{1<X<2\}+P\{X\leqslant1\}\\ &=P\{X<2\}=\displaystyle\int^2_0\cfrac{1}{9}x^2\mathrm{d}x=\cfrac{8}{27}. \end{aligned} P{X⩽Y}​=P{X=Y}+P{X<Y}=P{1<X<2}+P{X⩽1}=P{X<2}=∫02​91​x2dx=278​.​
（这道题主要利用了二维正态分布求解）

例5  设(X,Y)∼N(μ,μ;σ2,σ2;0)(X,Y)\sim N(\mu,\mu;\sigma^2,\sigma^2;0)(X,Y)∼N(μ,μ;σ2,σ2;0)，则P{X<Y}=P\{X<Y\}=P{X<Y}=______。

解  P{X<Y}=∬x<y12πσ2e−12σ2[(x−μ)2+(y−μ)2]dxdyP\{X<Y\}=\displaystyle\iint\limits_{x<y}\cfrac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}[(x-\mu)^2+(y-\mu)^2]}\mathrm{d}x\mathrm{d}yP{X<Y}=x<y∬​2πσ21​e−2σ21​[(x−μ)2+(y−μ)2]dxdy，用极坐标{x−μ=ρcos⁡θ,y−μ=ρsin⁡θ,\begin{cases}x-\mu=\rho\cos\theta,\\y-\mu=\rho\sin\theta,\end{cases}{x−μ=ρcosθ,y−μ=ρsinθ,​上式化为P{X<Y}=12πσ2∫π454πdθ∫0+∞e−ρ22σ2ρdρ=12P\{X<Y\}=\cfrac{1}{2\pi\sigma^2}\displaystyle\int^{\frac{5}{4}\pi}_{\frac{\pi}{4}}\mathrm{d}\theta\displaystyle\int^{+\infty}_0e^{-\frac{\rho^2}{2\sigma^2}}\rho\mathrm{d}\rho=\cfrac{1}{2}P{X<Y}=2πσ21​∫4π​45​π​dθ∫0+∞​e−2σ2ρ2​ρdρ=21​。
  如果把P{X<Y}P\{X<Y\}P{X<Y}化成P{X−Y<0}P\{X-Y<0\}P{X−Y<0}，则X−Y∼N(0,2σ2)X-Y\sim N(0,2\sigma^2)X−Y∼N(0,2σ2)，根据对称性P{X−Y<0}=12P\{X-Y<0\}=\cfrac{1}{2}P{X−Y<0}=21​。
  如果注意到(X,Y)(X,Y)(X,Y)中XXX与YYY的对称性，则也有P{X<Y}=P{Y<X}=12P\{X<Y\}=P\{Y<X\}=\cfrac{1}{2}P{X<Y}=P{Y<X}=21​，因P{X=Y}=0P\{X=Y\}=0P{X=Y}=0。（这道题主要利用了概率密度函数的对称性求解）

3.4  两个随机变量函数Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)的分布

例1  设随机变量XXX和YYY相互独立，服从同一参数为λ\lambdaλ的泊松分布，试求：随机变量Z=X+YZ=X+YZ=X+Y的分布律。

解  因为XXX和YYY相互独立且服从同一参数为λ\lambdaλ的泊松分布，所以
P{Z=k}=P{X+Y=k}=∑i=0kP{X=i,Y=k−i}=∑i=0kλie−λi!⋅λk−ie−λ(k−i)!=e−2λ∑i=0kλki!(k−i)!=e−2λ∑i=0kk!i!(k−i)!⋅λkk!=e−2λ⋅λkk!∑i=0kCki=e−2λ⋅λkk!(1+1)k=(2λ)kk!e−2λ,k=0,1,2,⋯\begin{aligned} P\{Z=k\}&=P\{X+Y=k\}=\displaystyle\sum^k_{i=0}P\{X=i,Y=k-i\}=\displaystyle\sum^k_{i=0}\cfrac{\lambda^ie^{-\lambda}}{i!}\cdot\cfrac{\lambda^{k-i}e^{-\lambda}}{(k-i)!}\\ &=e^{-2\lambda}\displaystyle\sum^k_{i=0}\cfrac{\lambda^k}{i!(k-i)!}=e^{-2\lambda}\displaystyle\sum^k_{i=0}\cfrac{k!}{i!(k-i)!}\cdot\cfrac{\lambda^k}{k!}\\ &=e^{-2\lambda}\cdot\cfrac{\lambda^k}{k!}\displaystyle\sum^k_{i=0}\mathrm{C}^i_k=e^{-2\lambda}\cdot\cfrac{\lambda^k}{k!}(1+1)^k\\ &=\cfrac{(2\lambda)^k}{k!}e^{-2\lambda},k=0,1,2,\cdots \end{aligned} P{Z=k}​=P{X+Y=k}=i=0∑k​P{X=i,Y=k−i}=i=0∑k​i!λie−λ​⋅(k−i)!λk−ie−λ​=e−2λi=0∑k​i!(k−i)!λk​=e−2λi=0∑k​i!(k−i)!k!​⋅k!λk​=e−2λ⋅k!λk​i=0∑k​Cki​=e−2λ⋅k!λk​(1+1)k=k!(2λ)k​e−2λ,k=0,1,2,⋯​
  故Z=X+YZ=X+YZ=X+Y服从参数为2λ2\lambda2λ的泊松分布。（这道题主要利用了二次项展开式求解）

习题三

9.设随机变量XXX和YYY相互独立，X∼B(n,p),Y∼B(m,p)X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p)X∼B(n,p),Y∼B(m,p)，试求X+YX+YX+Y的分布。

解  X∼B(n,p),Y∼B(m,p)X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p)X∼B(n,p),Y∼B(m,p)，XXX和YYY独立，可将XXX看成nnn次独立重复试验中成功次数。令Xi={1,在X的n次试验中第i次试验成功,0,在X的n次试验中第i次试验失败,i=1,⋯,nX_i=\begin{cases}1,&在X的n次试验中第i次试验成功,\\0,&在X的n次试验中第i次试验失败,\end{cases}i=1,\cdots,nXi​={1,0,​在X的n次试验中第i次试验成功,在X的n次试验中第i次试验失败,​i=1,⋯,n，显然X=X1+⋯+XnX=X_1+\cdots+X_nX=X1​+⋯+Xn​。同样，令Yj={1,在Y的m次试验中第j次试验成功,0,在Y的m次试验中第j次试验失败,j=1,⋯,nY_j=\begin{cases}1,&在Y的m次试验中第j次试验成功,\\0,&在Y的m次试验中第j次试验失败,\end{cases}j=1,\cdots,nYj​={1,0,​在Y的m次试验中第j次试验成功,在Y的m次试验中第j次试验失败,​j=1,⋯,n，显然Y=Y1+⋯+YnY=Y_1+\cdots+Y_nY=Y1​+⋯+Yn​。由于XXX和YYY独立，所以X1,x2,⋯,Xn,Y1,Y2,⋯,YmX_1,x_2,\cdots,X_n,Y_1,Y_2,\cdots,Y_mX1​,x2​,⋯,Xn​,Y1​,Y2​,⋯,Ym​是相互独立的。X+Y=X1+x2+⋯+Xn+Y1+Y2+⋯+YmX+Y=X_1+x_2+\cdots+X_n+Y_1+Y_2+\cdots+Y_mX+Y=X1​+x2​+⋯+Xn​+Y1​+Y2​+⋯+Ym​可看成每次成功率均为ppp的n+mn+mn+m次独立重复试验中成功的次数，所以X+Y∼B(n+m,p)X+Y\sim B(n+m,p)X+Y∼B(n+m,p)。（这道题主要利用了独立重复试验求解）

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