小森在公交站等车，有三路公交车均可乘坐到达目的地。A 公交车到站的时间为 0 到 10 分钟内的任一时间点，且服从 [0, 10] 的均匀分布。同样地，B 公交车到站的时间为 0 到 20 分钟内的任一时间点，C 公交车到站的时间为 0 到 30 分钟内的任一时间点。求问小森的平均等车时间？

1. 只有两辆公交车的情况

三辆公交车分析起来比较复杂，我们可以试着先考虑只有两辆公交车的情况，弄明白了这种情况下的平均等车时间，我们自然而然就很容易推广到三辆公交车的情形。

设公交车 A 到站的时间为随机变量 \(X\)，那么 \(X\) 的取值范围为 [0, 10]，其概率密度函数为：

\[f_X(x)=\frac{1}{10}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 10\]

同理，设公交车 B 到站的时间为随机变量 \(Y\)，那么 \(Y\) 的取值范围为 [0, 20]，其概率密度函数为：

\[f_Y(y)=\frac{1}{20}, \quad 0 \leqslant y \leqslant 20\]

小森的等待时间为随机变量 \(S\)，易知 \(S=min(X, Y)\)，也即等待时间为公交车内 A、B 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

\[f_S(s)=\begin{cases} \frac{1}{10}, \quad s = min(x, y)=x \to x \leqslant y \\ \frac{1}{20}, \quad s = min(x, y)=y \to x > y \end{cases}\]

平均等待时间即为 \(S\) 的期望，

\[E[S] = \int f_S(s)sds = \int_0^{10}\frac{1}{20}\Big(\int_0^{y}\frac{1}{10}xdx\Big) dy + \int_{10}^{20}\frac{1}{20}\Big(\int_0^{10}\frac{1}{10}xdx\Big) dy+ \int_0^{10}\frac{1}{10}\Big(\int_0^{x}\frac{1}{20}ydy\Big) dx\]

上式前两项代表 \(x \leqslant y\) 的情况，最后一项代表 \(x > y\) 的情况。

也可以写成下面这样的形式，

\[E[S] = \int f_S(s)sds = \int_0^{10}\frac{1}{10}\Big(\int_0^{x}\frac{1}{20}ydy + \int_{x}^{20}\frac{1}{20}xdy\Big) dx\]

外层积分代表 \(X\) 是 [0, 10] 上的均匀分布，内层积分的第一部分代表 \(x > y\) 的情况，第二部分代表 \(x \leqslant y\) 的情况。

最后求得 \(E[X]=\frac{25}{6}\approx4.1667\)，也即小森的平均等车时间为 4.1667 分钟。

import numpy as npsample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布for i in range(a.shape[0]):a[i] = min(a[i], b[i])print(np.mean(a)) # 期望值，4.167499895337278

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

2. 三辆公交车的情况

如果再增加一辆公交车 C，其到站的时间为随机变量 \(Z\)，那么 \(Z\) 的取值范围为 [0, 30]，其概率密度函数为：

\[f_Z(z)=\frac{1}{30}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 30\]

则 \(S=min(X, Y, Z)\)，也即等待时间为公交车内 A、B、C 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

\[f_S(s)=\begin{cases} \frac{1}{10}, \quad s = min(x, y, z)=x\\ \frac{1}{20}, \quad s = min(x, y, z)=y \\ \frac{1}{30}, \quad s = min(x, y, z)=z \end{cases}\]

平均等待时间即为 \(S\) 的期望，

\[E[S] = \int f_S(s)sds = \int_0^{10}\frac{1}{10}\Big(\int_0^{x}\frac{1}{20} \Big[\int_0^{y}\frac{1}{30}zdz+\int_y^{30}\frac{1}{30}ydz\Big] dy + \int_x^{20}\frac{1}{20} \Big[\int_0^{x}\frac{1}{30}zdz+\int_x^{30}\frac{1}{30}xdz\Big] dy\Big) dx\]

最外层积分代表 \(X\) 是 [0, 10] 上的均匀分布，中间层积分代表 \(Y\) 是 [0, 20] 上的均匀分布，最内层四部分分别代表 \(x > y \space\&\&\space y > z\)、\(x > y \space\&\&\space y < z\)、\(x < y \space\&\&\space x > z\) 和 \(x < y \space\&\&\space x < z\)四种情况。

最后求得 \(E[X]=3.75\)，也即小森的平均等车时间为 3.75 分钟。

import numpy as npsample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布
c = np.random.uniform(0, 30, sample_num) # 生成一个 [0, 30] 的均匀分布for i in range(a.shape[0]):a[i] = min(a[i], b[i])a[i] = min(a[i], c[i])print(np.mean(a)) # 期望值，3.748124747694317

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

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