计算机图形学课堂笔记

计算机图形学

第一章绪论

计算机图形学主要研究内容：计算机中图形的表示方法，以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理和算法

计算机图形学之父：Ivan Sutherland

1950年第一台图形显示器作为美国MIT旋风I号的附件诞生了

印刷业常用的颜色模型是CMY

计算机显示设备一般使用RGB颜色模型

图形学最高级 Steven A. Coons奖

siggraph 是图形学组织及最高会议

图形学应用领域：可视化、真实感图形学实时绘制，计算机动画、用户接口、计算机艺术、自然景物仿真

第一次提出光投射的是 Whitted模型

半边数据结构要保存的信息：顶点几何信息和从此顶点出发的半边信息

定义纹理的两种方法：图像纹理和函数纹理

第二章光栅图形学

关键字：扫描转换(光栅化)、区域填充、裁剪、反走样

2.1绘制一个像素的直线

2.1.1数值微分法 DDA

利用增量式的思想，在直线y = kx + b ，x每增加1，y每增加△k，

void DDA(int x0,int y0,int x1,int y1,int color）

{
float dx,dy,y,k;
dx = x1 - x0,dy = y1 - y0;
k = dy/dx;
y = y0;
for (x=x0;x!=x1;x+=1)
{
drawpixel(x,int(y+0.5),color);
y+=k;
}
}

注意：上述算法仅只用于|k|<=1的情况，当不符合时，需要将x，y的地位互换。

2.1.2 中点画线法

原理：x逐步递增，每次通过与中点的位置关系判断取上面那个点还是下面那个点

d = F(x,y) = ax+by+c (a = y0-y1 b =x1-x0 c = x0y1-x1y0)

F(x,y) = 0 ，线上

F(x,y) < 0，上方

F(x,y) > 0，下方

采用了增量式的思想，

当d >= 0，d1 = F(xp+2，y+0.5) = a(xp+2) + b(yp+0.5)+c = d+a 增量为a，

当d < 0, d2 = F(xp+2，y+1.5) = a(xp+2) + b(yp+1.5)+c = d+a+b ,增量为a+b

拜托浮点运算，用2d代替d

 5 void line1(int x0,int y0,int x1,int y1){6 7      int x,y,d0,d1,d2,a,b;8      y=y0;             9      a=y0-y1;          //直线方程中的a的算法
10      b=x1-x0;          //直线方程中的b的算法
11      d0=2*a+b;         //增量初始值
12      d1=2*a;           //当>=0时的增量
13      d2=2*(a+b);       //当<0时的增量
14      for(x=x1;x<=x2;x++){
15             putpixel(x,y,GREEN);   //打亮
16         if(d0<0){
17             y++;
18             d0+=d2;
19         }else{
20
21         d0+=d1;
22         }
23
24      }
25 }

2.1.3 Bresenham算法

原理：x逐步递增，每次判断增值是否大于0.5，来判断取上面的点还是下面的点

为了避免除法：e‘ = 2e *dx

void Bresenham(int x0,int y0,int x1,int y1,int color）
{
int x,y,dx,dy,e;
dx = x1-x0,dy = y1-y0,e = -dx;
x=x0,y=y0;
fpr(i=0;i<=dx;i++)
{
drawpixel(x,y,color);
x++,e+=2dy;
if(e>=0){y++;e-=2dx;}
}
}

2.2 圆弧的扫描转换算法

2.2.1 圆的特征

八对称性，只要扫描转化1/8圆弧就能利用八对称性求出整个圆弧的像素集。

2.2.2 中点画圆法

原理：F = x² + y² - R² 圆上的点F =0, 圆外的点F >0,圆内的点F<0

类似与中点画线法，d = F(M) = F(xp+1,yp-0.5) = (xp+1)² + (yp-0.5)² - R²

d<0,取上面的点，下一个点为F(xp+2,yp-0.5),d2-d1 = 2xp+3

d>0,取下面的点，下一个点为F(xp+2,yp-1.5),d2-d1 = 2(xp-xy)+5

算法：

26 void MP_Circle(int xc , int yc , int r)

27 {

28 int x, y;

29 double d;

31 x = 0;

32 y = r;

33 d = 1.25 - r;

34 CirclePlot(xc , yc , x , y);

35 while(x <= y)

36 {

37 if(d < 0)

38 {

39 d = d + 2 * x + 3;

40 }

41 else

42 {

43 d = d + 2 * ( x - y ) + 5;

44 y–;45 }

46 x++;

47 CirclePlot(xc , yc , x , y);

48 }

49 }

2.3多边形扫描转换和区域填充

多边形表示方式：1.顶点表示 2.点阵表示

扫描转换：将顶点表示转化为点阵表示

2.3.1.1 扫描线算法

（1）求交（2）排序（3）配对（4）填色

升级方法：1.增加活性边表 2.增量法计算 3.新边表

AET活性边表：(当前x坐标，△x ，ymax)

创建一个新边表，里面用ymin记录每一条扫描线第一次出现位置

NET新边表：(最小x坐标，△x ，ymax)

算法：

void polufill(polypon,color)
{
for(各个扫描线i)
{
初始化新边表表头指针NET[i]；
把ymin=i的边放入NET[i];
}
y = 最低扫描线号；
初始化活性边表为空；
for(各条扫描线i)
{
把NET[i]中边结点用插入排序法插入AET，使之按x坐标递增顺序排序；
若允许多边形的边自交，用冒泡排序法对AET重新排序；
遍历AET，把配对交点区间（左开右闭）上像素(x,y)，改颜色；
遍历AET，把ymax=i的点删去，并把ymax>i的点的x值递增△x
}
}

2.3.1.2 边界标志算法

有适合用硬件实现，不用维护边表和排序，所以比扫描线算法快1-2个数量级

先对多边形每条边进行直线扫描转换，将多边形边界经过的像素打上标记；

然后类似直线扫描转换来上色。

对每条扫描线，从左到右遍历像素x，维护一个变量inside，经过一个标记便取反，inside为true则上色；

算法：

{
对多边形poludef每条边进行直线扫描转换；
for(每条与多边形poludef相交的扫描线y)
{
inside = false;
for(扫描线上每个像素x)
{
if(像素x被打上边标记)
inside = ！inside；
if(inside)
上色；
else
改为背景色；
}

}

2.3.2 区域填充算法

区域分为四连通区域和八连通区域，区域表示分为：内点表示和边界点表示

对于点阵表示的填充图形

2.3.2.1 递归算法

对于内点表示，从区域内一点(x,y)开始递归遍历4个方向的点，如果是内点则上色，不是则结束。

对于区域点表示，同上，如果不是区域点则继续，是则结束

2.3.2.2区域填充的扫描线算法

(1)初始化。堆栈为空，将种子点(x,y)入栈

(2)出栈。栈空则结束，否则取栈顶元素(x,y)，以y为当前扫描线

(3)填充并确定种子点所在区域，从(x,y)出发，向左右分别找边界点xl，xr

(4)确定新的种子点。

2.4 字符

点阵字符压缩技术：黑白段压缩，部件压缩和轮廓字形压缩

2.5 裁剪

2.5.1.1 直线段裁剪

1.Cohen-Sutherland 裁剪算法

思想：对于每条线段p1p2分成3种情况

(1)p1p2完全在窗口内，取

(2)p1p2完全在窗口外，弃

(3)p1p2穿过窗口，将线段分成窗口外和窗口内，然后分别弃和取

算法书本p34页

区域编码思想：code1 = code2 =0 表示都在区域内则取

code1&code2 !=0 则表示都在区域外则弃

否则求交点，再继续判断

2.5.2.2 中点分割裁剪算法

同直线段裁剪，先编码，再分3种情况处理。只是对于第三种情况，利用中点来分2段后递归求解

2.5.1.3 梁友栋-Barskey裁剪算法

p36页

upk <= qk

求出u1，u2

当pk<0 ,从外到内,取qk/pk与0的max，

当pk>0, 从内到外,取 qk/pk和1的min

最后u1>u2 弃，u1<u2，取

2.5.2 多边形裁剪

p37-38

一次用窗口的一条边裁剪一次多边形不适合于凹窗口

2.6 反走样

用离散量表示连续量引起的失真现象称为走样，减少或者消除这种效果的技术成为 反走样

方法：1.提供分辨率，像素点变多 2.区域采样 3.加权区域采样

2.7 消隐

2.7.1 消隐的分类

1.消隐对象分线消隐和面消隐

2.消隐空间分类

物体空间的消隐算法(光线投射算法，Robrtys算法)、

图像空间的消隐算法（Z-buff算法，扫描线算法，Warnock算法）、

物体空间和图像空间的消隐算法（画家算法）

2.7.3 消除隐藏面

1.画家算法，一层又一层，从远到近，不断更新

2.Z-buff 设置一个Z缓冲区存放每个像素的深度，一个帧颜色缓存区存放颜色

p47页

第三章几何造型技术

几何造型系统中有3种方法描述物体的三维模型：线框模型、曲面模型和实体模型

实体模型中基本表示方式：

3.1参数曲线和曲面

曲线

显示表示：y=f(x) 隐式表示：f(x,y)=0 参数方程：P(t) =[x(t),y(t)]

曲率绕率

曲线间连接的光滑度的度量方式：参数连续和几何连续

3.1.3插值、拟合和光顺

插值：构造一条曲线顺序通过给定的一组数据点，称为对这些数据点的插值，构造的曲线称为插值曲线。

拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(未必要通过这些点)，称为对这些数据点进行拟合，构成的曲线为拟合曲线。

光顺：曲线的拐点不要过多

对平面曲线而言，相对光顺条件如下：①具有二阶几何连续性G2 ②不存在多余拐点和奇异点 ③曲率变化较小

3.1.6连续性

1.函数的可微性 C^n或n阶参数连续性

2.几何连续性 G^n

C^{n连续包含在G}n连续中

G^0/C0连续要求曲线在连接点处连接

G^1连续要求曲线在满足G^0连续前提下，有公共的切矢量 Q‘ = αP’

G^2连续要求曲线在满足G^1连续前提下，满足有公共的曲率矢Q’‘ = α²P’‘ + βP’

由此可见，C1连续则G1连续（α=1），C2连续则G2连续（α=1，β=0）

3.2 Bezier曲线和曲面p66

1.定义P(t) = ∑PiBi,n(t),t∈[0,1]

Bi,n (t) 是n次Bernstein基函数，性质：

正性 Bi,n(t) >0

权性：累加和为1

最大性：Bi,n(t)最大值在t=i/n上取到

Bezier函数的性质：

对称性：起点的性质和终点性质相同

凸包性（凸包：定义在一个点集上，2D上的定义是一堆点，以外围点构成的凸多边形）

几何不变性：几何特性不依赖坐标

变差缩减性：若Bezier为平面图形，平面上任意直线与P(t)交点个数不多于该直线与特征多边形交点个数

仿射不变形

割角算法：递归递进

Bezier曲线的拼接

G1连续的话 Pn-1，Pn=Q0，Q1 3点共线

G2连续的话，Pn-2 Pn-1 Pn=Q0，Q1,Q2五点共面

Bezier曲面

Pij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)为(m+1)*(n+1)的空间点列

3.3 B样条曲线与曲面P78

P(t) = ∑PiNi,k(t)

欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，要用到ti，ti+1 到 ti+k 一共k+1个点，称[ti,ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间

一组B样条基的节点矢量T=[t0,t1,…,tn+k]

类型画风

1）均匀B样条 ti+1-ti =常数>0

2）准均匀B样条曲线两端节点具有重复度k

3）分段Bezier曲线节点适量中两端节点具有重复度k，所有内点重复度为k-1

4）非均匀B样条曲线

de Castljau算法

3.3.2 B样条曲线的性质

1.局部性，P(t)最多和k个控制点有关

2.连续性

3.凸包性

4.变差缩减性

5.几何不变性

6.仿射不变性

B样条优于Bezier曲线之处：

与控制多边形的外观更接近，局部修改能力强，可以绘制任意形状，易于拼接，阶次低，计算简便

de Boor 算法！

3.6 形体在计算机内的表示

实体模型表示方法：分解表示，构造表示和边界表示

用八叉树表示形体

优点：形体表示的数据结构简单，简化了形体的集合运算，分析算法适合并行处理

3.9 三角网格

相比于点云表达网格表达支持真实感图形学绘制

半边数据结构 half-edge

半边结构每个顶点至少需要保存两部分信息：1.顶点的几何信息 2.从这个顶点出发的半边

1.是顶点的坐标 2.该半边的源顶点，统一三角形内下一个半边，同属一条边的对边，所属的面即三角形

3.9.4网格简化p118

减少一个网格的面片数量同时仍能表达原三维模型的过程

三种基本化简操作：

(1)顶点删除操作

(2)边压缩操作

(3)面片压缩

计算操作误差(权值：两条边的二面角，角度约小越易失)

将每个基本元素的权值按递增排序，每次取队首操作，并更新改变了的权值再插入队列中，直到满足需要

3.9.5 网格细分p120

1.增加顶点 Loop细分，在每条边上都加一个点，使得顶点数变成原来的4倍

2.顶点位置跳转

流水线Graphics Pipeline

输入 3D space的顶点 -> vector stream -> Triangle Stream（Rasterization光栅化） -> Fragment Stream（Z-buffer） -> Shaded Fragments（绘制，如明暗处理）

顶点着色器像素着色器

第四章真实感图形学

颜色3个特性：色调、饱和度、亮度

RBG

CMY印刷

HSV面向用户

4.3简单光照模型

4.3.2 phong 光照明模型

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6MulZQLk-1640513327831)(C:\Users\自嘲丶\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20211225172049861.png)]

1.理想漫反射 diffusion reflection

Id = Ip* Kd*cos(θ) cos(θ) = L * N

2.镜面反射光 specular reflection

Is = Ip* Ks* cos^n(α) ，cos α = R* V

3.环境光 ambient

Ie = Ia * Ka

4.phone光照明模型

I = Ia * Ka + Ip* Kd*cos(θ) + Ip * Ks cos^n(α)

有时候 H* N 近似 R* V

4.3.3 增量式光照明模型

1.双线性光强插值 Gouraud 明暗处理

基本算法描述：

(1)先计算多边形顶点的平均法向

(2)用phong光照明模型计算顶点的平均光强

(3)插值计算离散边的各点光强

(4)插值计算多边形内域中各点的光强

先计算顶点处的平均光强，再通过线性插值计算其他各点光强

缺点：没有镜面反射优点：：能有效的显示漫反射效果，计算量小，图形光滑

2.双线性法向插值 phong明暗处理的特点

(1)保留双线性插值，对多边形边上的点和内域各点采用增量法

(2)对顶点的法向量进行插值，而顶点的法向量用相邻多边形的法向量的平均值得到

(3)插值得到的法向量，计算各个像素的光亮度

(4)假定光源和视点在无穷远处，光强只是法向量的函数

1.先对顶点的法向量进行插值，再通过插值得到的法向量计算每个像素的光亮度

特点：可以产生正确的高光区域，但计算量大

4.7 整体光照明模型

4.7.1 光线跟踪算法

跟踪镜面反射和折射

算法 p150-151

RayTracing(start,direction,weight,color)

{

if(weight < minWeight)

color = black;

else

{

计算光线与所有物体交点中离start最近的点;

if(没有交点)

color = black;

else

{

I1 = 在交点出用局部光照明模型计算的光强

计算反射反向R

RayTracing（最近的交点，R，weight*wr，Ir）

计算折射方向T

RayTracing（最近的交点，T，weight*wt，It）

color = I1 + KsIr + KtIt

}

光线跟踪算法的加速

包围盒技术 AABB p154

OBB定向包围盒，能旋转的AABB包围盒（利用PCA，得到正交向量，之后坐标转换，计算AABB，再转化回来）

属于空间剖分技术的光线跟踪加速方法：三维DDA，空间八叉树

附录A

A.3 齐次坐标

(x1,x2,…,xn)->(x1,x2,…,xn,h)

h=1表示点，h=0表示一个点沿着直线到无穷远过程

附录B 图形的几何变换p207

C.5 透视投影 p214-215
体光照明模型

4.7.1 光线跟踪算法

跟踪镜面反射和折射

算法 p150-151

RayTracing(start,direction,weight,color)

{

if(weight < minWeight)

color = black;

else

{

计算光线与所有物体交点中离start最近的点;

if(没有交点)

color = black;

else

{

I1 = 在交点出用局部光照明模型计算的光强

计算反射反向R

RayTracing（最近的交点，R，weight*wr，Ir）

计算折射方向T

RayTracing（最近的交点，T，weight*wt，It）

color = I1 + KsIr + KtIt

}

光线跟踪算法的加速

包围盒技术 AABB p154

OBB定向包围盒，能旋转的AABB包围盒（利用PCA，得到正交向量，之后坐标转换，计算AABB，再转化回来）

属于空间剖分技术的光线跟踪加速方法：三维DDA，空间八叉树

附录A

A.3 齐次坐标

(x1,x2,…,xn)->(x1,x2,…,xn,h)

h=1表示点，h=0表示一个点沿着直线到无穷远过程

附录B 图形的几何变换p207

C.5 透视投影 p214-215