概率统计Python计算：离散型自定义分布数学期望的计算（二）

对于联合分布律为

的2-维离散型随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)，其函数g(X,Y)g(X,Y)g(X,Y)的数学期望E(g(X,Y))=∑i=1m∑j=1ng(xi,yj)pijE(g(X,Y))=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^ng(x_i,y_j)p_{ij}E(g(X,Y))=i=1∑mj=1∑ng(xi,yj)pij是2-维数组(g(x1,y1)g(x1,y2)⋯g(x1,yn)g(x2,y1)g(x2,y2)⋯g(x2,yn)⋮⋮⋯⋮g(xm,y1)g(xm,y2)⋯g(xm,yn))\begin{pmatrix}g(x_1,y_1)&g(x_1,y_2)&\cdots&g(x_1,y_n)\\g(x_2,y_1)&g(x_2,y_2)&\cdots&g(x_2,y_n)\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\g(x_m,y_1)&g(x_m,y_2)&\cdots&g(x_m,y_n)\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎛g(x1,y1)g(x2,y1)⋮g(xm,y1)g(x1,y2)g(x2,y2)⋮g(xm,y2)⋯⋯⋯⋯g(x1,yn)g(x2,yn)⋮g(xm,yn)⎠⎟⎟⎟⎞和(p11p12⋯p1np21p22⋯p2n⋮⋮⋯⋮pm1pm2⋯pmn)\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\p_{m1}&p_{m2}&\cdots&p_{mn}\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎛p11p21⋮pm1p12p22⋮pm2⋯⋯⋯⋯p1np2n⋮pmn⎠⎟⎟⎟⎞按元素相乘所得2-维数组(g(x1,y1)p11g(x1,y2)p12⋯g(x1,yn)p1ng(x2,y1)p21g(x2,y2)p22⋯g(x2,yn)p2n⋮⋮⋯⋮g(xm,y1)pm1g(xm,y2)pm2⋯g(xm,yn)pmn)\begin{pmatrix}g(x_1,y_1)p_{11}&g(x_1,y_2)p_{12}&\cdots&g(x_1,y_n)p_{1n}\\g(x_2,y_1)p_{21}&g(x_2,y_2)p_{22}&\cdots&g(x_2,y_n)p_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\g(x_m,y_1)p_{m1}&g(x_m,y_2)p_{m2}&\cdots&g(x_m,y_n)p_{mn}\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎛g(x1,y1)p11g(x2,y1)p21⋮g(xm,y1)pm1g(x1,y2)p12g(x2,y2)p22⋮g(xm,y2)pm2⋯⋯⋯⋯g(x1,yn)p1ng(x2,yn)p2n⋮g(xm,yn)pmn⎠⎟⎟⎟⎞的元素之和。
将上述计算方法写成计算数学期望的函数

def expect(P, Xv=None, Yv=None, func=lambda x, y: x):stru=P.shape                                #获取P的结构arrayType=type(np.array([]))                #数组类型if (len(stru)>1) and (type(Xv)==arrayType): #2维向量且需计算XXv=Xv.reshape(Xv.size,1)if type(Yv)==arrayType:                     #2维向量且需计算YYv=Yv.reshape(1, Yv.size)mean=(func(Xv,Yv)*P).sum()                  #计算期望return mean

函数expect的4个参数中P表示分布律中的概率序列。Xv和Yv分别表示随机变量XXX和YYY的取值序列，缺省为None。func表示函数关系Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)，缺省值为函数g(X,Y)=Xg(X,Y)=Xg(X,Y)=X。第2行读取表示概率序列的数组P的结构，P.shape是一个元组，其长度大于1表示P是一个矩阵。第3行获取numpy的数组类型，记为arrayType，若参数Xv或Yv传递的是数组，则其类型type(Xv)（或type(Yv)）就与arrayType一致。第4~5行的if语句对2-维随机向量（len(stru)>1）且需计算XXX期望（type(Xv)==arrayType）的情形，将Xv设置成m×1m\times1m×1的列向量，以保证矩阵按元素计算的正确性。出于同样的目的，第6~7行的if语句对需要计算YYY的期望（此时，P一定是2-维数组），将Yv设置成1×n1\times n1×n的行向量。第8行将数组func(Xv,Yv)*P元素之和(func(Xv,Yv)*P).sum()记为返回值mean。第9行将计算结果返回。
例1 设(X,Y)(X, Y)(X,Y)的联合分布律为

计算E(X)E(X)E(X)，E(Y)E(Y)E(Y)和E(X3Y2)E(X^3Y^2)E(X3Y2)。
解：为计算E(X)E(X)E(X)和E(Y)E(Y)E(Y)，先计算XXX，YYY的边缘分布。不难解得XXX~(015838)\begin{pmatrix}0&1\\\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{pmatrix}(085183)，YYY~(123382838)\begin{pmatrix}1&2&3\\\frac{3}{8}&\frac{2}{8}&\frac{3}{8}\end{pmatrix}(183282383)。所以
E(X)=0×58+1×38=38E(X)=0\times\frac{5}{8}+1\times\frac{3}{8}=\frac{3}{8}E(X)=0×85+1×83=83,
E(Y)=1×38+2×28+3×38=2E(Y)=1\times\frac{3}{8}+2\times\frac{2}{8}+3\times\frac{3}{8}=2E(Y)=1×83+2×82+3×83=2。
为计算E(X3Y2)E(X^3Y^2)E(X3Y2)，可以运用先计算Z=X3Y2Z=X^3Y^2Z=X3Y2的分布律，然后计算E(Z)E(Z)E(Z)。根据(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布律，不难算得ZZZ~(014954181818)\begin{pmatrix}0&1&4&9\\\frac{5}{4}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{pmatrix}(045181481981)。于是E(X3Y2)=E(Z)=0×54+1×18+4×18+9×18=74E(X^3Y^2)=E(Z)=0\times\frac{5}{4}+1\times\frac{1}{8}+4\times\frac{1}{8}+9\times\frac{1}{8}=\frac{7}{4}E(X3Y2)=E(Z)=0×45+1×81+4×81+9×81=47。下列代码验算本例计算结果。

import numpy as np                      #导入numpy
from sympy import Rational as R         #导入Rational
X=np.array([0, 1])                      #设置X取值
Y=np.array([1, 2, 3])                   #设置Y取值
Pxy=np.array([[R(1,4), R(1,8), R(1,4)], #设置分布律中概率矩阵[R(1,8), R(1,8), R(1,8)]])
meanx=expect(Pxy, X)                    #计算E(X)
g=lambda x, y: y                        #设置函数g(X,Y)=Y
meany=expect(Pxy, Yv=Y, Py)             #计算E(Y)
g=lambda x, y: (x**3)*(y**2)            #设置函数g(X, Y)=X^3Y^2
mean=expect(Pxy, X, Y, g)               #计算E(X^3Y^2)
print('E(X)=%s'%meanx)
print('E(Y)=%sf'%meany)
print('E(X^3Y^2)=%s'%mean)

程序中第3~6行设置(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布律。第7行调用函数expect，传递参数Pxy和X计算XXX的边缘分布的期望E(X)E(X)E(X)，记为meanx。为计算YYY的边缘分布期望E(Y)E(Y)E(Y)，第8行设置函数g(X,Y)=Yg(X,Y)=Yg(X,Y)=Y，第9行调用函数expect传递参数Pxy，Y和g，计算结果记为meany。第10行定义函数g(x,y)=x3y2g(x,y)=x^3y^2g(x,y)=x3y2，第11行调用函数expect传递参数Pxy，X，Y和g计算E(X3Y2)E(X^3Y^2)E(X3Y2)，记为mean。运行程序，输出

E(X)=3/8
E(Y)=2
E(X^3Y^2)=7/4

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