各位同学，在上期内容《另辟蹊径，探寻本源——有关阿氏圆的本质及其作用的深入探究》中，叶老师向大家介绍了一种求解三角形面积最值与线段之和最值的模型——阿波罗尼斯圆模型。并向大家推导了阿氏圆的原理，大家有时间可以回顾一下！

很多同学在已知数列递推关系，求解数列通项公式的时候，由于不会对通项公式变形或者是变形后不会化简，从而求解不出数列的通项。因此今天叶老师将推出：高考倒计时决战60日系列的第二十集：破解数列通项公式的最强外援——不动点法。希望能够帮助大家解决数列通项公式的求解问题！

作者简介：叶老师，笔名“动人定理”，专职教师，数学学科研究员，目前担任机构数学教研组组长及学生学业规划师。曾供职合作于多家上市教育公司，对中高考数学考点有着深入认知与理解。拥有超过10000小时的高三毕业班学生一对一辅导经验。

破解数列通项公式的最强外援——不动点法

导读

在高中阶段，“求解数列通项公式”算是一种非常常见的题型了，几乎每年高考必考，因此许多老师也根据数列递推关系的结构或者是系数之间的关系总结出了一系列求解数列通项公式的方法，比如：公式法，累加累乘法，取倒数法，嵌套法等等。这些方法虽然巧妙，但是必须得对应其独有的递推结构才能使用，这无疑中增加了同学们的记忆难度与理解难度！特别是很多时候，递推关系各个项的系数并没有很明显的关系，此时求解数列的通项公式便更加困难了。因此求解数列的通项公式必定得依靠强大的外援作为支撑，今天叶老师介绍的这个“不动点”法，将能帮助同学们解决数列递推公式的化简与构造问题！那么接下来，叶老师将通过：①不动点法的概念及化简机制。②不动点法的应用举例。等两个方面向大家全面介绍一下这个强大的外援——不动点法。

一、不动点法的概念及化简机制

首先我们先来介绍一下不动点的概念：使方程f(x)=x成立的解x称作是函数f(x)的不动点。

所以不动点法我们可以这样定义：我们把数列的递推关系看作是"an+1=f(an)"这样的函数关系然后直接令an+1与an为x，这样便可得到一个只关于x的不动点方程，解出不动点之后，我们便可利用递推数列的不动点，将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列。

因此对于任意的数列递推关系，我们都能将其看做是an+1与an的函数关系，然后解出函数的不动点x，对数列进行构造，这样便可解决通项公式的求解问题。

至于为什么能用不动点法构造数列，这个原理比较复杂要用到许多高等数学的知识，同学们可能无法理解，因此在这里叶老师站在大家的角度向大家简单地说一下不动点法的化简机制：从高中的角度上来说使用不动点法恰好可以使等式左右两边出现相同的因式，当你解出f(x)=x这个方程的解x0之后，等式左右两边都可以分解出(x-x0),这样再把an+1与an回带，递推公式就可以改写成：(an+1 - x0)=(an - x0)*f(an)。直白一点说就是：用不动点法构造出来的数列递推式恰好便是同学们利用待定系数法历经千辛万苦所化出来的式子。因此不动点法的作用：就是为了直接凑出相同的形式以便省略复杂的待定系数过程，从而轻松求解数列通项！

二、不动点法的应用举例

通过上述不动点法的概念以及化简机制，我们可以得知：在高中阶段，不动点法主要是用来解决一次函数型和分式型的数列递推，因为这两种形式的递推关系，都可以使用不动点法进行化简，使得等号左右两边出现相同的因式，从而达到化简的目的！

下面我们就来具体看看这两种应用举例

1.用不动点法解决一次函数型递推数列

(1)化简机制的简单介绍

化简机制的简单介绍

(2)例题详解

小结：因此当数列的递推关系为一次函数时，利用不动点方程，解出不动点后，在等式左右两边同时减去不动点，同学们便可轻松利用提取公因式的方法，构造出一个新的有关an的等比数列，从而轻松求出通项公式an！

2.利用不动点法解决分式型递推数列通项问题

(1)化简机制的简单介绍

化简机制的简单介绍1

化简机制的简单介绍2

PS:当不动点方程无解时，数列an必为周期数列。其原因是：数列在高等数学里可以看做差分方程。差分方程的解可以用e的指数型来表示，如果这时特征方程解出来的根是虚根，那么根据欧拉公式，可以将e的指数型化为正弦与余弦函数和的形式，由于正余弦函数具有周期性，所以说这种数列就具有周期性！

(2)例题详解

小结：因此对于分式型递推关系的数列通项求解，我们仍然是使用不动点法进行求解，只不过在计算过程中，同学们还应该注意分式通分运算的使用，这便要求同学们得有一定的运算能力了，否则一旦所得，得不偿失！

写在文末

到这里，本期内容就接近尾声了，不知同学们对叶老师这回请来的外援——不动点，是否满意。其实说来说去，在高中阶段，同学们要想真正明白不动点法的根本原理是非常难的，因为不动点法的原理推导用到了非常多高等数学的知识，而同学们的知识储备还没到达那个高度，因此研究起来肯定特别费劲。因此在文末，叶老师想最后提醒一下同学们有关不动点法使用的注意事项，希望同学们可以牢记于心：

①不动点法的化简机制要比原理好懂很多，还可以自己推导，因此希望同学们把精力花在推导化简机制上，对于不动点法的真正原理不要做过多的深究！

②不动点法优于常规构造法的地方是：省略了复杂的待定系数过程，大大提升了做题的速度与准确性，因此希望同学们记住这点，合理使用！

③对于分式型递推数列，同学们在使用不动点法时，一定要注意通分运算的准确性！

最后希望同学们看完本期内容后，都能有所收获！

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