Determinants

文章目录

The Properties Of Determinants
The Methods To Culculate Determinants
Cramers's Rule, Inverses and Volumes
行列式的几何意义

The Properties Of Determinants

行列式的表示： det A A A 或者 | A A A|

1. n by n 的单位阵的行列式是1
∣ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ∣ = 1 \left| \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 & \cdots & 1\\ \end{matrix} \right|=1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1

2. 如果方阵的两行互换，则行列式的符号改变，变成相反数
− ∣ a b c d ∣ = ∣ c d a b ∣ -\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} c & d \\ a& b \end{matrix} \right| −∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=∣∣∣∣cadb∣∣∣∣

3. 行列式是行的线性函数
∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣ \left| \begin{matrix} ta & tb \\ c & d \end{matrix} \right|= t\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| ∣∣∣∣tactbd∣∣∣∣=t∣∣∣∣acbd∣∣∣∣

∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ \left| \begin{matrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|+ \left| \begin{matrix} a' & b' \\ c & d \end{matrix} \right| ∣∣∣∣a+a′cb+b′d∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a′cb′d∣∣∣∣

4. 如果有两行相等，则行列式为0
∣ a b a b ∣ = 0 \left| \begin{matrix} a & b \\ a & b \end{matrix} \right|=0 ∣∣∣∣aabb∣∣∣∣=0

5. 一行乘以一个数加到另一行，行列式不变
∣ a b c − ρ a d − ρ b ∣ = ∣ a b c d ∣ \left| \begin{matrix} a & b \\ c-\rho a & d-\rho b \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| ∣∣∣∣ac−ρabd−ρb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣

6. 有全0行的方阵的行列式为0
∣ 0 0 c d ∣ = 0 \left|\begin{matrix} 0 & 0\\ c & d \end{matrix} \right|=0 ∣∣∣∣0c0d∣∣∣∣=0

7. 三角阵的行列式：对角元素乘积
∣ a 0 c d ∣ = a d ∣ a b 0 d ∣ = a d \left|\begin{matrix} a & 0\\ c & d \end{matrix} \right|=ad\space\space\space\space\space\space\space\space \left| \begin{matrix} a & b\\ 0 & d \end{matrix} \right|=ad ∣∣∣∣ac0d∣∣∣∣=ad ∣∣∣∣a0bd∣∣∣∣=ad

8. 如果行列式为0，方阵是奇异矩阵（不可逆）。如果方阵可逆，行列式不为0

9. A B AB AB的行列式等于 A A A的行列式乘以 B B B的行列式
∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣

10. A A A转置的行列式等于 A A A的行列式(意味着以上的性质也适应于列)
∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣

The Methods To Culculate Determinants

Big Formula（其实是一个公式）

1. n ∗ n n*n n∗n的矩阵有 n ! n! n!项，一半是正数，一半是负数，
2 ∗ 2 方阵 ∣ a b c d ∣ = a d − b c 2*2方阵\space\space\space\space\space\space\space\space \left|\begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix} \right|=ad-bc 2∗2方阵 ∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−bc
3 ∗ 3 方阵 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 3*3方阵\space\space\space\space \left|\begin{matrix} a11 & a12 &a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{matrix} \right|=a11 a22 a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 3∗3方阵 ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31

2. 有时候可以进行快速计算，我们遵循一个原则：每项中的entry来自不同的行和列，所有可能结果之和就是行列式。如：4*4方阵，每项有4个entrys
[ 1 0 a 0 0 1 b 0 0 0 c 0 0 0 d 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0&a &0\\ 0 & 1 & b&0\\ 0& 0 & c&0\\ 0 & 0 & d&1 \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡10000100abcd0001⎦⎥⎥⎤

第 1、2、4列只能选1，其他都是0，第三列我们可以选 a b c d，但是，1 2 4 行已经有值，所以只能选c。只有一种可能：1 1 c 1，行列式为c
如果经过换列或者行才能将entry都放在对角上，变换次数是偶数，行列式不变，变换次数是奇数，行列式还需要乘以-1。如下：
[ 1 0 a 0 0 1 b 0 0 1 c 0 0 0 d 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0&a &0\\ 0 & 1 & b&0\\ 0& 1& c&0\\ 0 & 0 & d&1 \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡10000110abcd0001⎦⎥⎥⎤
那么可选择的有下面两个，但是右边的需要第二列和第三列互换，才能得到对角矩阵，所以行列式为-b。最终结果加起来：c-b
[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 0 b 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0&0&0\\ 0 & 1 &0&0\\ 0& 0& c&0\\ 0 & 0 & 0&1 \end{matrix} \right] \space\space\space\space\space\space\space \left[ \begin{matrix} 1 & 0&0&0\\ 0 & 0& b&0\\ 0& 1& 0&0\\ 0 & 0 & 0&1 \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡1000010000c00001⎦⎥⎥⎤ ⎣⎢⎢⎡100000100b000001⎦⎥⎥⎤

Cofactors（余子式）

余子式：设一个entry为 a i j aij aij，去掉其所在的行和列，剩下的SubMatrix 的行列式，记作： M i j Mij Mij
一个方阵的行列式等于任意一行的的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和。Mij 的系数是 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} (−1)i+j
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ + ∣ a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + ∣ a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ = a 11 M 11 + ( − 1 ) a 12 M 12 + a 13 M 13 \left|\begin{matrix} a11 & a12 &a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{matrix} \right|=\left|\begin{matrix} a11 & & \\ & a22 & a23 \\ & a32 & a33 \end{matrix} \right|+\left|\begin{matrix} & a12 & \\ a21 & & a23 \\ a31 & & a33 \end{matrix} \right|+\left|\begin{matrix} & &a13 \\ a21 & a22 & \\ a31 & a32 & \end{matrix} \right| = a11M11 +(-1)a12M12+a13M13 ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣a11a22a32a23a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a21a31a12a23a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a21a31a22a32a13∣∣∣∣∣∣=a11M11+(−1)a12M12+a13M13

如：
∣ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ = 2 ∗ ∣ 2 − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ − ( − 1 ) ∗ ∣ − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 ∣ \left|\begin{matrix} 2& -1 & &&\\ -1 &2&-1& \\ & -1 & 2&-1\\ &&-1&2 \end{matrix} \right|=2*\left|\begin{matrix} 2 & -1&\\ -1 & 2 & -1 \\ & -1& 2 \end{matrix} \right|-(-1)*\left|\begin{matrix} -1 & -1&\\ & 2 & -1 \\ & -1& 2 \end{matrix} \right| ∣∣∣∣∣∣∣∣2−1−12−1−12−1−12∣∣∣∣∣∣∣∣=2∗∣∣∣∣∣∣2−1−12−1−12∣∣∣∣∣∣−(−1)∗∣∣∣∣∣∣−1−12−1−12∣∣∣∣∣∣

Cramers’s Rule, Inverses and Volumes

Cramer’s Rule

1. 如果 A A A的行列式不是0， A x = b Ax=b Ax=b 可以用行列式来解

Key idea:
[ a 1 a 2 a 3 ] [ x 1 0 0 x 2 1 0 x 3 0 1 ] = [ b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 ] = B 1 \left[\begin{matrix} & &\\ a1& a2 & a3 \\ & & \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} x1& 0&0\\ x2& 1 & 0 \\ x3& 0& 1 \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} b1& a12&a13\\ b2& a22 & a23 \\ b3& a32& a33 \end{matrix} \right]=B1 ⎣⎡a1a2a3⎦⎤⎣⎡x1x2x3010001⎦⎤=⎣⎡b1b2b3a12a22a32a13a23a33⎦⎤=B1

设中间矩阵为 X X X

d e t ( A ) d e t ( X ) = d e t ( B 1 ) det(A)det(X)=det(B1) det(A)det(X)=det(B1)
d e t ( A ) x 1 = d e t ( B 1 ) det(A)x1=det(B1) det(A)x1=det(B1)
x 1 = d e t ( B 1 ) / d e t ( A ) x1=det(B1)/det(A) x1=det(B1)/det(A)

同理：
[ a 1 a 2 a 3 ] [ 1 x 1 0 0 x 2 0 0 x 3 1 ] = [ a 1 b a 3 ] = B 2 \left[\begin{matrix} & &\\ a1& a2 & a3 \\ & & \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} 1& x1&0\\ 0& x2 & 0 \\ 0& x3& 1 \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} & &\\ a1&b & a3 \\ & & \end{matrix} \right]=B2 ⎣⎡a1a2a3⎦⎤⎣⎡100x1x2x3001⎦⎤=⎣⎡a1ba3⎦⎤=B2

x 2 = d e t ( B 2 ) / d e t ( A ) x2=det(B2)/det(A) x2=det(B2)/det(A)

同理：

x 3 = d e t ( B 3 ) / d e t ( A ) x3=det(B3)/det(A) x3=det(B3)/det(A)

例题

3 x 1 + 4 x 2 = 2 5 x 1 + 6 x 2 = 4 \begin{array}{l} 3x1+4x2=2\\ 5x1+6x2=4 \end{array} 3x1+4x2=25x1+6x2=4

d e t A = ∣ 3 4 5 6 ∣ d e t B 1 = ∣ 3 4 5 6 ∣ d e t B 2 = ∣ 3 4 5 6 ∣ det A=\left|\begin{matrix} 3& 4\\ 5& 6 \end{matrix} \right|\space \space det B1=\left|\begin{matrix} 3& 4\\ 5& 6 \end{matrix} \right|\space \space det B2=\left|\begin{matrix} 3& 4\\ 5& 6 \end{matrix} \right| detA=∣∣∣∣3546∣∣∣∣ detB1=∣∣∣∣3546∣∣∣∣ detB2=∣∣∣∣3546∣∣∣∣

C r a m e r ′ s R u l e : x 1 = − 4 − 2 = 2 x 2 = 2 − 2 = − 1 Cramer's Rule :\space\space\space\space x1=\frac{-4}{-2}=2\space\space\space\space x2=\frac{2}{-2}=-1 Cramer′sRule: x1=−2−4=2 x2=−22=−1

c h e c k [ 3 4 5 6 ] [ 2 − 1 ] = [ 2 4 ] check \left[\begin{matrix} 3& 4\\ 5& 6 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 2\\ -1 \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 2\\ 4 \end{matrix} \right] check[3546][2−1]=[24]

2. A − 1 A^{-1} A−1

C表示余子式，最后的每项 C j i C_{ji} Cji的系数是（ − 1 ） i + j （-1）^{i+j} （−1）i+j
( A − 1 ) i j = C j i d e t A (A^{-1})_{ij}=\frac{C_{ji}}{det\space A} (A−1)ij=det ACji
比如： ( A − 1 ) 31 = C 13 d e t A 比如：(A^{-1})_{31}=\frac{C_{13}}{det\space A} 比如：(A−1)31=det AC13

例题：
A = [ a b c d ] A= \left[ \begin{matrix} a &b \\ c & d \end{matrix} \right] A=[acbd]
C 11 = d ∣ A ∣ , C 21 = − c ∣ A ∣ , C 12 = − b ∣ A ∣ , C 22 = a ∣ A ∣ C_{11}=\frac{d}{|A|} ,\space\space C_{21}=\frac{-c}{|A|},\space\space C_{12}=\frac{-b}{|A|},\space\space C_{22}=\frac{a}{|A|} C11=∣A∣d, C21=∣A∣−c, C12=∣A∣−b, C22=∣A∣a
∣ A ∣ = 1 a d − b c |A|=\frac{1}{ad-bc} ∣A∣=ad−bc1
A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\left[ \begin{matrix} d &-b \\ -c & a \end{matrix} \right] A−1=ad−bc1[d−c−ba]

3. 行列式的几何意义

在 x y x\space y x y 坐标平面中，3个点的坐标分别是 ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x 3 , y 3 ) (x1,y1)\space (x2,y2)\space (x3,y3) (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) ,那么它组成三角形的面积是：
d e t e r m i n a n t 2 = 1 2 ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ \frac{determinant}{2}=\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x1 & y1 & 1\\ x2 & y2 & 1 \\ x3 & y3& 1 \end{matrix} \right| 2determinant=21∣∣∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣∣∣
如果 ( x 3 , y 3 ) (x3,y3) (x3,y3) 是（0,0）的话面积等于：
1 2 ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x1 & y1 \\ x2 & y2 \end{matrix} \right| 21∣∣∣∣x1x2y1y2∣∣∣∣
平行四边形的面积=determinant,不需要除以2
如果求出的值是负数，那么取它的绝对值。

在 x y z x\space y\space z x y z 三维空间中，三个三维向量 ( a 11 a 12 a 13 ) ( a 21 a 22 a 23 ) ( a 31 a 32 a 33 ) (a_{11}a_{12}a_{13}) (a_{21}a_{22}a_{23})(a_{31}a_{32}a_{33}) (a11a12a13)(a21a22a23)(a31a32a33)分别对应平行六面体的三条边，三个三维向量不要求垂直，只需要能构成体积就行。那么它的体积等于：
∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{21}& a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} &a_{23}& a_{33} \end{matrix} \right| ∣∣∣∣∣∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣∣∣∣∣∣
可以这样想：如果三个向量两两垂直，假设为 ( 2 , 0 , 0 ) ( 0 , 3 , 0 ) ( 0 , 0 , 4 ) (2,0,0) (0,3,0)(0,0,4) (2,0,0)(0,3,0)(0,0,4)，那么体积为三个边长之积：2*3*4=24，将边长放在矩阵中，求行列式也是2*3*4=24，如下：
∣ 2 0 0 0 3 0 0 0 4 ∣ = 2 ∗ 3 ∗ 4 = 24 \left| \begin{matrix} 2& 0 & 0 \\ 0 & 3& 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right|=2*3*4=24 ∣∣∣∣∣∣200030004∣∣∣∣∣∣=2∗3∗4=24

内积、外积、三重积

(1) 内积（Dot Product）：两个向量的内积大小是一个长度，是一个数。

两个向量 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( y 1 , y 2 , y 3 ) (x1,x2,x3)\space (y1,y2,y3) (x1,x2,x3) (y1,y2,y3)的内积对应坐标乘积之和： x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x1y1+x2y2+x3y3 x1y1+x2y2+x3y3，通常写成 x T y x^Ty xTy

(2)外积（Cross Product）：两个向量的外积大小是面积,还是一个向量。
u × v = ∣ i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) i + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) j + ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) k u\times v= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} \right|=(u_{2}v_{3}- u_{3}v_{2} )i+(u_{3} v_{1}- u_{1}v_{3} )j+(u_{1}v_{2} -u_{2} v_{1} )k u×v=∣∣∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣∣∣=(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k
得到的这个向量大小等于 u u u v v v 组成的四边形面积，方向垂直于这个平面，符合右手定则， x × y x\times y x×y的方向如下图。

x × y = − ( y × x ) x\times y=-(y\times x) x×y=−(y×x)

(3)三重积（Triple Product）三个向量的三重积大小是体积

u v w u\space v \space w\space u v w 的Triple Product定义为： ( u × v ) ⋅ w (u\times v \space )\cdot w (u×v )⋅w =
d e t e r m i n a t = ∣ w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ = ∣ u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ∣ determinat=\left| \begin{matrix} w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix} \right| determinat=∣∣∣∣∣∣w1u1v1w2u2v2w3u3v3∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣∣

行列式的几何意义

矩阵和行列式的几何意义

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