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今天蒜头君拿到了一个数轴，上边有 n 个点，但是蒜头君嫌这根数轴不够优美，想要通过加一些点让它变优美，所谓优美是指考虑相邻两个点的距离，最多只有一对点的距离与其它的不同。

蒜头君想知道，他最少需要加多少个点使这个数轴变优美。

输入格式

输入第一行为一个整数 n(1 \leq n \leq 10^5)n(1≤n≤105)，表示数轴上的点数。

第二行为 nn个不重复的整数 x_1,x_2,...,x_n(-10^9 \leq x_i \leq 10^9)x1,x2,...,xn(−109≤xi≤109)，表示这些点的坐标，点坐标乱序排列。

输出格式

输出一行，为一个整数，表示蒜头君最少需要加多少个点使这个数轴变优美。

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1 3 7 15

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题解：

此题考察了前缀和的变形——前缀、后缀gcd.

解题思路：

n个数，两个数之间有一段距离，则n个数之间共有n-1个距离。

首先我们将这n个数从小到大排列，求出相邻两个点的距离，这样便于求解。

如果不考虑与其他距离不同的那一对儿点的距离，让这个数轴变得优美，我们就需要加若干个点来让每个点的距离都相同，我们暂且称之为完美数轴，完美数轴若想加的点最少，则需求原来n-1个距离的最大公约数，这个最大公约数即为最终加点后的每两个点的距离。

现在我们要求有一对儿点的距离与其他距离不同的时候，最少需加多少点。有这一个条件可以利用，易知肯定比完美数轴所需点要少。因此蒜头君想要让数轴变得优美，必要情况下，肯定要让一对儿点的距离与其他距离不同的。

我们先不考虑那个与其他距离不同的那个距离，即先将那个不同的距离从n-1个距离中删去，对剩下n-2个距离求最大公约数。

则解法如下：

1、当n<=3时，则不需要考虑题中操作就满足题目要求，答案为0。

2、当n>3时，

设置gcdpre[i]：表示前i个距离求得的公共最大公约数。

设置gcdsuf[i],表示后i个距离求得的公共最大公约数。

考虑逐个删除某个距离，假设当前删除第i个距离,则剩余全部n-2个距离的最大公约数GCD=gcd(gcdpre[i-1],gcdsuf[n-i-1])。

这时，我们先假设这n-2个距离是完美数轴，就得出完美数轴所需点数为(n-2距离的总距离sum-dis[i]/GCD)+1。但是这个数轴是优美数轴，已经删除了第i个距离，怎么才能把那个不同的第i个距离加上呢？我们想象一下，把完美数轴中的一个点撕裂成两半，成为两个点，这两个点的距离就是第i个距离，这样，我们就把一个完美数轴成功地变成优美数轴了。那如何由完美数轴求优美数轴需要加多少点呢？完美数轴的点数是(sum-dis[i]/GCD)+1,优美数轴是由完美数轴将一个点撕裂成两个点得来的，因此优美数轴总点数时(sum-dis[i]/GCD)+1+1,需要加的点数就是优美数轴总点数-原数轴点数，即(sum-dis[i]/GCD)+2-n。

就这样，求出遍历删除每个点后形成优美数轴所需点数的最小值即可。

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int maxn=1e5+10;int a[maxn],dis[maxn],gcdpre[maxn],gcdsuf[maxn];//dis[i]为第i个距离长度
//gcdpre[i]为前i个距离的最大公约数，gcdsuf[i]为后i个距离的最大公约数
int main()
{int n;cin>>n;if(n<=3){printf("0");return 0;}for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];sort(a,a+n);int sum=0;//用于求总的距离长度 for(int i=1;i<n;i++){dis[i]=a[i]-a[i-1];sum+=dis[i];}for(int i=1;i<n;i++) gcdpre[i]=__gcd(dis[i],gcdpre[i-1]);for(int i=n-1;i>=1;i--) gcdsuf[n-i]=__gcd(dis[i],gcdsuf[n-i-1]);int ans=0x3f3f3f3f;for(int i=1;i<n;i++){int temp=(sum-dis[i])/__gcd(gcdpre[i-1],gcdsuf[n-1-i]);ans=min(ans,temp-n+2);}cout<<ans;return 0;
}

此文参考博客：https://blog.csdn.net/codeswarrior/article/details/79739825?utm_source=blogxgwz4

这道题还挺不好理解的，不过挺有意思的^_^.

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