算法之路（四）----汉诺塔（又称河内之塔）

汉诺塔是很简单也很经典的算法之一。
汉诺塔是根据一个传说形成的数学问题：
有三根杆子A，B，C 。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：
* 1 每次只能移动一个圆盘；
* 2 大盘不能叠在小盘上面。

提示：可将圆盘临时置于B杆，也可以将A杆移除的圆盘重新移动回A杆，但都必须遵循上述两条规则。
问：如何移？最少要移动多少次？

传说

最早发明这个问题的人是法国数学家爱德华*卢卡斯。
传说印度某间寺院有三根柱子，上串64个金盘。寺院里的僧侣依照一个古老的预言，以上述规则移动这些盘子；预言说当这些盘子移动完毕，世界就会灭亡。这个传说叫做梵天寺之塔问题(Tower of Brahma puzzle)。但不知道是卢卡斯自创的这个传说，还是他受他人启发。
若传说属实，僧侣们需要2⁶⁴− 1步才能完成这个任务；若他们每秒可完成一个盘子的移动，就需要5849亿年才能完成。整个宇宙现在也不过137亿年。
这个传说有若干变体：寺院换成修道院、僧侣换成修士等等。寺院的地点众说纷纭，其中一说是位于越南的河内，所以被命名为“河内塔”。另外亦有“金盘是创世时所造”、“僧侣们每天移动一盘”之类的背景设定。
佛教中确实有“浮屠”（塔）这种建筑；有些浮屠亦遵守上述规则而建。“河内塔”一名可能是由中南半岛在殖民时期传入欧洲的。

解答

如取N=64，最少需移动2⁶⁴− 1次。即如果一秒钟能移动一块圆盘，仍将需5849.42亿年。目前按照宇宙大爆炸理论的推测，宇宙的年龄仅为137亿年。
在真实玩具中，一般N=8；最少需移动255次。如果N=10，最少需移动1023次。如果N=15，最少需移动32767次；这就是说，如果一个人从3岁到99岁，每天移动一块圆盘，他最多仅能移动15块。如果N=20，最少需移动1048575次，即超过了一百万次。

解法

解法的基本思想是递归。假设有A、B、C 三个塔，A塔有N块盘，目标是把这些盘全部移动到C塔。那么先把塔顶部的N-1块盘移动到B塔，再把A塔剩下的大盘移动到C，最后把B塔的N-1块盘移动到C。
每次移动多于一块盘时，则再次使用上述算法来移动。

怎么来理解呢？
我们可以倒着理解，要将A塔上的所有圆盘移动到C塔，且所有圆盘是下大上小。那么必定有一个过程是最大的圆盘（也就是第N个圆盘）从A移动到C。那么必须保证上面的N-1个圆盘全在B塔，且圆盘满足上面小，下面大。当第N个圆盘从A移动到C之后，又得把N-1个圆盘从B塔移动到C塔，这样工作就完成了。
但是怎么把A塔上的N-1个圆盘移动到B塔呢？
这里需要一点想象力，可以想象成只有N-1个圆盘，从A塔移动到B塔（此时的B塔其实就相当于上面的C塔），我们称A塔为A1塔，B塔为C1塔，C塔为B1塔，那么问题就变成了如何将N-1个盘从A1塔移动到C1塔？
同样的需要将上面的N-2个圆盘从A1塔移动到B1塔，然后将第N-1个圆盘从A1塔移动到C1塔，然后再将B1塔上的N-2个圆盘移动到C1塔。
同理，递推第N-2个塔…..。

将 B塔上的 N-1个盘，移动到C塔的过程与上面原理一样。

递归解

以Objective-C语言实现：

- (void)viewDidLoad {[super viewDidLoad];// Do any additional setup after loading the view from its nib.int n = 9;[self hannoi:n from:@"A" buffer:@"B" to:@"C"];NSLog(@"一共 %d 步",count);
}- (void)hannoi:(int)n from:(NSString *)from buffer:(NSString *)buffer to:(NSString *)to
{if (n == 1) {NSLog(@"Move disk %d from %@ to %@", n, from, to);} else {[self hannoi:n-1 from:from buffer:to to:buffer];NSLog(@"Move disk %d from %@ to %@", n, from, to);[self hannoi:n-1 from:buffer buffer:from to:to];}
}console : 一共 511 步

以C++语言实现：

using namespace std;
#include <iostream>
#include <cstdio>void hannoi (int n, char from, char buffer, char to)
{if (n == 1) {cout << "Move disk " << n << " from " << from << " to " << to << endl;} else {hannoi (n-1, from, to, buffer);cout << "Move disk " << n << " from " << from << " to " << to << endl;hannoi (n-1, buffer, from, to);}
}int main()
{int n;cin >> n;hannoi (n, 'A', 'B', 'C');return 0;
}

通过以上递归过程可知hannoi(n) = 2 * hannoi(n-1) + 1 ，hannoi(n) = 2^n-1 + 2^n-2 + 2^n-3+ …… + 2² + 2 +1。
对等比数列求和得出hannoi(n) = 2ⁿ -1。

算法之路（四）----汉诺塔（又称河内之塔）相关推荐

“三色河内塔”算法（三色汉诺塔）
问题引入 "三色河内塔"由"河内之塔"的规则衍生而来(点击查看),区别在于三色河内塔的目的是将图1所示的圆盘位置,移动成为图2所示的圆盘位置."三色河 ...
“双色河内塔”算法（双色汉诺塔）
问题引入 "双色河内塔"由"河内之塔"的规则衍生而来(点击查看),区别在于双色河内塔的目的是将图1所示的圆盘位置,移动成为图2所示的圆盘位置. 图1 图2 问题 ...
算法（9）汉诺塔图解及其代码实现
写在前面: 我是「扬帆向海」,这个昵称来源于我的名字以及女朋友的名字.我热爱技术.热爱开源.热爱编程.技术是开源的.知识是共享的. 这博客是对自己学习的一点点总结及记录,如果您对 Java.算法感兴 ...
算法第一期：汉诺塔问题(python通俗易懂版)
问题描述: 汉诺塔(Hanoi Tower),又称河内塔,源于印度一个古老传说.大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子,在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘.大梵天命令婆罗门把圆盘从下面 ...
python实现汉诺塔递归经典算法_Python递归实现汉诺塔算法示例
本文实例讲述了Python递归实现汉诺塔算法.分享给大家供大家参考,具体如下: 最近面试题,面试官让我5分钟实现汉诺塔算法(已然忘记汉诺塔是啥). 痛定思痛,回来查了一下汉诺塔的题目和算法.题干与实现 ...
算法：递归（汉诺塔）
要点:函数定义中调用函数自身的方式形成递归. 递归的定义:递归,就是在运行的过程中调用自己. 数学上有个经典的递归例子叫阶乘,阶乘通常定义如下: n! = n(n-1)(n-2)-(1) 为了算出这个 ...
算法：递归启蒙-汉诺塔
基本所有的讲递归的书和视频都会以汉诺塔作为开始,因为它足够经典汉诺塔问题要求整个挪动的过程中都符合小压大的原则,就是如果同一个柱子上有超过1个的话,那必须下面是最大的,上面依次变小,不能出现大盘压小 ...
汉诺塔（河内之塔）相关题目
1. 标准汉诺塔题目: 汉诺塔由三根柱子(分别用A.B.C表示)和n个大小互不相同的空心盘子组成.一开始n个盘子都摞在柱子A上,大的在下面,小的在上面,形成了一个塔状的锥形体. 对汉诺塔的一次合法的 ...
证明并推导汉诺塔（河内之塔）问题公式
本文链接:http://www.cnblogs.com/xxNote/p/3965739.html 第一次遇到汉诺塔问题时我瞬间就被搞蒙了之后果断扔下不管了,今天再次遇到这个问题被搞蒙again, ...

算法之路（四）----汉诺塔（又称河内之塔）

传说

解答

解法

递归解

算法之路（四）----汉诺塔（又称河内之塔）相关推荐

最新文章

热门文章