算法复习——分而治之篇之次序选择问题

以下内容主要参考中国大学MOOC《算法设计与分析》，墙裂推荐希望入门算法的童鞋学习！

1. 问题背景

最小值查找：

例如给定数组 A [ 1..16 ] A[1..16] A[1..16]，寻找其中最小值，如下图所示。
依次扫描，记录最小值

那么，对问题稍加改变，如何求得数组中第 k k k小的元素？

2. 问题定义

次序选择问题（Selection Problem）

输入：

包含 n n n个不同元素的数组 A [ 1.. n ] A[1..n] A[1..n]
整数 k ( 1 ≤ k ≤ n ) k(1\leq k \leq n) k(1≤k≤n)

输出：

数组 A [ 1.. n ] A[1..n] A[1..n]中第 k k k小的元素 ( 1 ≤ k ≤ n ) (1 \leq k \leq n) (1≤k≤n)

3. 排序求解

对数组排序，求得所有元素的次序，就很容易得到第 k k k小的元素，时间复杂度是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。

但这似乎不是最好的算法，因为我们只想要第 k k k小的元素；但是排序把所有第 k k k小的都得到了，这似乎是没有必要的，浪费了时间复杂度。

4. 问题分析

受启发于快速排序的数组划分。其中，我们的任务是用分界线分割数组，分界线左边的元素都比它小，右边的元素都比它大；但是，左边无需排序，右边也无需排序。

如果我们想求得的第 k k k个元素恰恰就落在分界线上，则直接获得结果；如果不能，就需要略作修改。

5. 固定位置划分求解

5.1 原理

选取固定位置主元，小于主元的元素个数 q − p q-p q−p

情况1： k = q − p + 1 k=q-p+1 k=q−p+1， A [ q ] A[q] A[q]为数组第 k k k小元素
情况2： k < q − p + 1 k < q-p + 1 k<q−p+1，在 A [ p . . q − 1 ] A[p..q-1] A[p..q−1]中寻找第 k k k小元素
情况3： k > q − p + 1 k > q - p + 1 k>q−p+1，在 A [ q + 1.. r ] A[q+1..r] A[q+1..r]中寻找第 k − ( q − p + 1 ) k-(q-p+1) k−(q−p+1)小元素

相比于其他分而治之的问题，在次序选择问题中，子问题始终唯一且无需合并问题解。

5.2 伪代码

固定位置划分：Partition(A, p, r)

输入：数组A，起始位置p，终止位置r

输出：划分位置q

x ← A[r]
i ← p - 1
for j ← p to r-1 dpif A[j] <= x thenexchange A[i+1] with A[j]i ← i + 1end
end
exchange A[i+1] with A[r]
q ← i + 1
return q

固定位置次序选择：Selection(A, p, r, k)

输入：数组A，起始位置p，终止位置r，元素次序k

输出：第k小元素x

q ← Partition(A, p, r)
if k = (q - p + 1) thenx ← A[q]
end
if k < (q - p + 1) thenx ← Selection(A, p, q-1, k)
end
if k > (q - p + 1) thenx ← Selection(A, q+1, r, k-(q-p+1))
end
return x

5.3 时间复杂度分析

最好情况： T ( n ) = O ( n ) T(n)=O(n) T(n)=O(n)

最坏情况： T ( n ) = ∑ i = 1 n i ≤ n 2 = O ( n 2 ) T(n)=\sum_{i=1}^{n}i \leq n^2 = O(n^2) T(n)=∑i=1ni≤n2=O(n2)，如下图所示。

6. 随机位置划分求解

6.1 伪代码

随机位置划分：Randomized-Partition(A, p, r)

输入：数组A，起始位置p，终止位置r

输出：划分位置q

s ← Random(p, r)
exchange A[s] with A[r]
q ← Partition(A, p, r)
return q

随机位置次序选择：Randomized-Selection(A, p, r, k)

输入：数组A，起始位置p，终止位置r，元素次序k

输出：第k小元素x

q ← Randomized-Partition(A, p, r)
if k = (q - p + 1) thenx ← A[q]
end
if k < (q - p + 1) thenx ← Randomized-Selection(A, p, q-1, k)
end
if k > (q - p + 1) thenx ← Randomized-Selection(A, q+1, r, k-(q-p+1))
end
return x

6.2 期望时间复杂度分析

使用代入法，可证明随机位置次序选择的期望时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)。